8 Gleichungen höheren Grades > Lösen durch Herausheben und durch Substitution 1 Herausheben (Faktorisieren) Das Lösen durch Herausheben der Variable ist nur dann möglich, wenn a 0null ist. Löse die Gleichung x3 + 4 x2 − 45 x = 0in der Menge der reellen Zahlen. Hebe die Variable heraus: x · (x 2 + 4 x − 45) = 0. Das Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist (ProduktNull-Satz). D. h.: x1= 0oder x 2 + 4 x − 45 = 0. x 2,3 = − 4 _ 2 ± 9 _ ( 4 _ 2) 2 + 45= − 2 ± 9 _4 + 45= − 2 ± 9 _ 49 = − 2 ± 7 Die Lösungen lauten: x1 = 0 x 2 = 5 x 3 = − 9 L={− 9; 0; 5} Löse die Gleichung in ℝ durch Herausheben. a) x 3 + 9 x2 + 14 x = 0 d) 2 x 3 + 3 x2 − 5 x = 0 g) 3 x 4 − 30 x 3 = 0 j) 4 x 5= 5 x4 b) x 3 + 3 x2 − 88 x = 0 e) 6 x 4 + x 3 − x 2 = 0 h) 2 x 4 − 18 x 3 = 0 k) 3 x 5= 12 x3 c) x 3 − 8 x 2 + 16 x = 0 f) x 4 + 14 x3 + 49 x2 = 0 i) 2 x 5 + 6 x4 = 0 l) x 6 − 49 x 4 = 0 Lösen von Gleichungen Geogebra: Löse(Gleichung, Variable) Löse( x 3 + 3 x2 – 4x = 0,x) {x = − 4, x = 0, x = 1} Casio: solve(Gleichung, Variable) solve(4 x2 + x – 5 = 0, x) {x = − 5 _ 4, x = 1} TI-Nspire: solve(Gleichung, Variable) solve(4 x2 + x – 5 = 0, x) {x = − 5 _ 4, x = 1} Neben dem Herausheben der Variablen wird oft auch die binomische Formel a 2 − b 2 = (a + b) · (a − b) zum Faktorisieren verwendet. Löse die Gleichung a) x 2 − 144 = 0 b) x 4 − 16 = 0in ℝ. Durch Anwenden der binomischen Formel lässt sich der Term der Gleichung in ein Produkt zerlegen und der Produkt-Null-Satz anwenden. a) x 2 − 144 = 0 → (x − 12) (x + 12) = 0 → x − 12 = 0oder x + 12 = 0 → x 1 = 12, x2 = − 12 Die Lösungsmenge ist L = {− 12; 12}. b) Anwenden der binomischen Formel: x 4 − 16 = (x 2 − 4) · (x 2 + 4)= 0 x2 − 4 = 0oder x2 + 4 = 0 → x 2= 4oder x2 = − 4 → x 1,2= ± 2oder x3,4 = ± 9 _ − 4 ∉ ℝ Die Lösungsmenge ist L = {− 2; 2}. Löse die Gleichung durch Faktorisieren mit der binomischen Formel in ℝ. a) x 2 − 4 = 0 c) x 2 − 49 = 0 e) x 4 − 1 _ 16 = 0 b) x 2 − 9 = 0 d) x 4 − 144 = 0 f) x 4 − 1 _ 100 = 0 Löse die Gleichung mit Technologie. a) x 4 − 81 = 0 b) x 4 − 256 = 0 c) x 6 − 1 = 0 d) x 6 − 64 = 0 Auch die Horner’sche Regel (benannt nach William George Horner, 1786 –1837, einem englischen Mathematiker und Pädagogen) für Terme der Form a n − b n (n ∈ ℕ \ {0}) kann zum Faktorisieren verwendet werden. Muster 3 t 4 Technologie Muster 5 t 6 7 Ó Technologie Anleitung Lösen von Gleichungen 26ne7w Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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