78 3.4 Graphisches Differenzieren Lernziel: º Polynomfunktionen graphisch differenzieren können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.2 D en Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion […] in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können Ist der Graph einer Funktion f gegeben und konstruiert man den Graphen der Ableitungsfunktion, dann nennt man diesen Vorgang graphisches Differenzieren. Dabei müsste man an jeder Stelle von f die Steigung der Tangente messen und diese Steigung dann als Funktionswert der ersten Ableitung an der gegebenen Stelle einzeichnen. Skizziere den Verlauf des Graphen der ersten Ableitung von f. Um den gegebenen Graphen graphisch zu differenzieren, ist folgende Vorgangsweise hilfreich: 1. Schritt: Die Extremstellen von f werden zu Nullstellen in der Ableitungsfunktion. Der Graph von fʹ schneidet daher die x-Achse an den Stellen − 1 und 3. 2. Schritt: Die Wendestellen von f werden zu Extremstellen in fʹ. Daher besitzt fʹ an der Stelle 1 eine Extremstelle. 3. Schritt: Der Graph von f ist in (− ∞; − 1] streng monoton steigend (ohne Sattelstelle). Daher besitzt fʹ im Intervall (− ∞; − 1) positive Funktionswerte. 4. Schritt: Der Graph von f ist in [− 1; 3] streng monoton fallend (ohne Sattelstelle). Daher besitzt fʹ im Intervall (− 1; 3) negative Funktionswerte. 5. Schritt: Der Graph von f ist in [3; ∞) streng monoton steigend (ohne Sattelstelle). Daher besitzt fʹ im Intervall (3; ∞) positive Funktionswerte. 6. Schritt: Weitere Funktionswerte von fʹ könnte man aus dem Graphen von f durch Schätzung der Tangentensteigungen ermitteln, z.B. fʹ(0) ≈ − 3. Gegeben ist der Graph der Funktion f. Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion. a) x f(x), f’(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –6 –4 –2 0 f b) x 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –6 –4 –2 0 f(x), f’(x) f c) x 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –6 –4 –2 0 f(x), f’(x) f Kompetenzen Muster 247 x f(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 –8 –6 –4 –2 0 f x f’(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f’ Extremstellen von f werden zu Nullstellen von f’ Wendestelle von f wird zur Extremstelle von f’ AN-R 3.2 M1 248 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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