AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 77 Untersuchung von Polynomfunktionen > Kurvendiskussionen Kontrolle der Wendestellen: f‴(9 _ 4 _ 3 ) ≠ 0, f‴(− 9 _ 4 _ 3 ) ≠ 0 (hinreichende Bedingung ist erfüllt) Berechnen der Funktionswerte: f(9 _ 4 _ 3 ) = − 1,11, f(− 9 _ 4 _ 3 ) = − 1,11 Die Koordinaten der Wendepunkte sind: W1 = (− 9 _ 4 _ 3 | − 1,11), W 2 = ( 9 _ 4 _ 3 | − 1,11) Angabe der Krümmungsintervalle: (− ∞; − 9 _ 4 _ 3 ] und [9 _ 4 _ 3 ; ∞) linksgekrümmt [− 9 _ 4 _ 3 ; 9 _ 4 _ 3 ] rechtsgekrümmt Berechnen der Wendetangenten: fʹ(9 _ 4 _ 3 ) ≈ 1,54, fʹ(− 9 _ 4 _ 3 ) ≈ − 1,54 Durch Einsetzen in die Gleichung y = k x + d kann d berechnet werden. Man erhält die beiden Wendetangenten: t 1(x) = 1,54 x + 0,67 und t2(x) = − 1,54 x + 0,67 Um zu überprüfen, ob eine gerade oder ungerade Funktion vorliegt, berechnet man f(− x): f(− x) = (− x) 4 _ 8 − (− x) 2 = x 4 _ 8 − x 2 = f(x) Da f(x) = f(− x) gilt, ist f eine gerade Funktion und daher symmetrisch bezüglich der y‑Achse. Asymptotisches Verhalten: lim x→∞ (x 4 _ 8 − x 2) Durch Herausheben der Potenz mit der höchsten Hochzahl erhält man: lim x→∞ x 4 · ( 1 _ 8 − 1 _ x 2) = ∞ lim x→−∞ x 4 · ( 1 _ 8 − 1 _ x 2) = ∞ Graph der Funktion: Führe eine Kurvendiskussion durch. a) f(x) = x 4 _ 20 − 5 _ 4 x 2 d) f(x) = 1 _ 3 x 3 + x 2 − 3 x g) f(x) = x 4 _ 5 − 2 x 2 b) f(x) = x 3 + 3 x2 − x − 3 e) f(x) = 1 _ 30 · (x 3 + 3 x2 − 45 x) h) f(x) = x 3 + 7 x2 + 7 x − 15 c) f(x) = x 3 + x 2 + 2 x + 2 f) f(x) = x 4 _ 2 − x 3 Eine kleine Firma produziert Holzspielzeug. G(x) = − 0,9 x 3 + 10,2 x2 + 19,9 x ist der erzielte Gewinn in Euro, wenn x Stück (x ≥ 0) verkauft werden. Berechne die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen und interpretiere deine Ergebnisse im gegebenen Kontext. Die Gewinnfunktion einer Firma ist gegeben durch G(x) = − 500 x 3 + 30 000 x2 + 30 500 x. G ist der erzielte Gewinn in Euro, wenn x Stück verkauft werden. a) Wann ist der Gewinn der Firma maximal? b) Gib die Monotonieintervalle der Funktion für x ≥ 0 an und interpretiere diese im gegebenen Kontext. c) Berechne die Nullstellen und interpretiere diese im gegebenen Kontext. d) Bestimme die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten von G und interpretiere die Ergebnisse im gegebenen Kontext. Die Gewinnfunktion einer Firma ist gegeben durch G(x) = − 0,02 x3 + 3 x2 + 20 x − 800. G ist der erzielte Gewinn in Euro, wenn x Stück verkauft werden. a) Wann ist der Gewinn der Firma maximal? b) Die Gewinnzone umfasst jene Stückanzahlen, bei denen das Unternehmen Gewinn macht. Gib die Gewinnzone des Unternehmens an. c) Berechne den Wendepunkt von G. d) Interpretiere die Koordinaten des Wendepunkts im gegebenen Kontext. x f(x) 4 6 –6 –4 2 4 6 –2 0 f T1 W1 W2 T2 H t2 t1 243 244 245 M2 246 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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