76 3.3 Kurvendiskussionen Lernziel: º Eine Kurvendiskussion bei Polynomfunktionen durchführen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.3 E igenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen Mit Hilfe von Technologie ist das Zeichnen des Graphen einer Funktion recht schnell gemacht. Mit den Methoden der vorigen Abschnitte kann man wichtige Eigenschaften berechnen und kennt dadurch den Kurvenverlauf des Graphen recht gut. Die Berechnung der folgenden Punkte wird Kurvendiskussion genannt: 1) Definitionsmenge aufstellen 2) Nullstellen berechnen ⇒ f(x) = 0 3) Extremstellen berechnen und die Art der Extremstellen (Minimum, Maximum) angeben. Dabei gilt: fʹ(p) = 0 und f″(p) < 0 ⇒ p ist ein lokales Maximum. fʹ(p) = 0 und f″(p) > 0 ⇒ p ist ein lokales Minimum. 4) Monotonieintervalle angeben 5) Wendestellen berechnen ⇒ f″(p) = 0 und Krümmungswechsel findet statt 6) Krümmungsintervalle angeben 7) Wendetangenten aufstellen 8) Symmetrie überprüfen ⇒ Bei einer geraden Funktion gilt f(x) = f(− x). Bei einer ungeraden Funktion gilt f(x) = − f(− x). 9) asymptotisches Verhalten überprüfen: Wie verhält sich die Funktion für x → ∞ bzw. x → − ∞? 10) Graphen der Funktion zeichnen Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 4 _ 8 − x 2. Führe eine Kurvendiskussion durch. Zuerst werden die ersten drei Ableitungen berechnet, da diese bei weiteren Berechnungen notwendig sind: fʹ(x) = x 3 _ 2 − 2 x f″(x) = 3 x 2 _ 2 − 2 f‴(x) = 3 x Definitionsmenge: D = ℝ, da Polynomfunktionen auf ganz ℝ definiert sind. Nullstellen: 0 = x 4 _ 8 − x 2 ⇒ x 1 = 0, x2 = 9 _ 8 , x 3 = − 9 _ 8 Schnittpunkte mit der x‑Achse: N 1 = (0 | 0), N 2 = ( 9 _ 8 | 0), N 3 = (− 9 _ 8 | 0) mögliche Extremstellen: 0 = x 3 _ 2 − 2 x ⇒ x 1 = 0, x2 = 2, x3 = − 2 Art der Extremstellen: f″(0) = − 2 < 0 ⇒ lokales Maximum f″(2) = 4 > 0 ⇒ lokales Minimum f″(− 2) = 4 > 0 ⇒ lokales Minimum Berechnen der Funktionswerte: f(0) = 0, f(2) = − 2, f(− 2) = − 2 Die Extrempunkte sind: T 1 = (− 2 | − 2), T 2 = (2 | − 2), H = (0 | 0) Angabe der Monotonieintervalle: (− ∞; − 2] und [0; 2] streng monoton fallend [− 2; 0] und [2; ∞) streng monoton steigend mögliche Wendestellen: 0 = 3 x 2 _ 2 − 2 ⇒ x 1 = 9 _ 4 _ 3 , x 2 = − 9 _ 4 _ 3 Kompetenzen Muster 242 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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