75 Untersuchung von Polynomfunktionen > Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte Weitere hinreichende Bedingung für Wendestellen Sei f: D → ℝ mit p ∈ D eine Polynomfunktion, dann gilt: f″(p) = 0 und f‴(p) ≠ 0 ⇒ p ist eine Wendestelle von f Berechne die Extrem- und Wendestellen der Funktion f mit f(x) = x 3 _ 6 − x 2 und verwende die obigen beiden hinreichenden Bedingungen zur Überprüfung. Zuerst werden die ersten drei Ableitungen gebildet: fʹ(x) = x 2 _ 2 − 2 x f″(x) = x − 2 f‴(x) = 1 Berechnung der Extremstellen: fʹ(x) = 0 ⇒ 0 = x 2 _ 2 − 2 x ⇒ x 1 = 0, x2 = 4 Überprüfung und Art der Extremstellen: f″(0) = − 2 < 0 ⇒ f ist an der Stelle 0 negativ gekrümmt. ⇒ 0 ist eine Maximumstelle. f″(4) = 2 > 0 ⇒ f ist an der Stelle 4 positiv gekrümmt. ⇒ 4 ist eine Minimumstelle. Berechnung der Wendestellen: f″(x) = 0 ⇒ 0 = x − 2 ⇒ x = 2 Überprüfung der Wendestelle: f‴(2) = 1 ≠ 0 ⇒ An der Stelle 2 liegt eine Wendestelle. Berechne die Extrem- und Wendepunkte der Funktion f und verwende die beiden hinreichenden Bedingungen zur Überprüfung. a) f(x) = 1 _ 8 x 3 − 1 _ 4 x 2 d) f(x) = 1 _ 24 · (x 3 − 1,5 x 2 − 90 x) b) f(x) = 2 x3 − 6 x + 3 e) f(x) = 2 x4 − 3 x 2 + 2 c) f(x) = x 3 + 1,5 x2 − 2,25 x + 1 f) f(x) = 1 _ 9 · (3 x 4 − 16 x 3 − 18 x 2 + 216 x − 7) a) Erkläre anhand der Funktion f mit f(x) = x 6, warum für eine Extremstelle x 0die Bedingung f″(x 0) ≠ 0keine notwendige Bedingung ist. b) Erkläre anhand der Funktion f mit f(x) = x 7, warum für eine Wendestelle x 0die Bedingung f‴(x 0) ≠ 0keine notwendige Bedingung ist. Gegeben ist eine Polynomfunktion f, sowie f(3) = 0, fʹ(3) = 0, f″(3) = − 4. Vervollständige den folgenden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. f besitzt bei (1) eine (2) . (1) (2) x = − 4 lokale Maximumstelle x = 0 lokale Minimumstelle x = 3 Wendestelle Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades. Kreuze alle sicher zutreffenden Aussagen an. Aussage f(0) = 0 fʹ(0) = 0 f″(0) = 0 f″(0) ≠ 0 A 0 ist eine Nullstelle von f. B 0 ist eine lokale Extremstelle von f. C 0 ist eine Wendestelle von f. D 0 ist eine Sattelstelle von f. E 0 ist eine Wendestelle von f mit Wendetangente t(x) = 3 x. F (0|2 ) ist ein Wendepunkt von f. Merke Muster 237 238 239 AN-R 3.3 M1 240 241 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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