74 Untersuchung von Polynomfunktionen > Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte 3 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f. Ordne dem Graphen von f den Graphen von f″ zu. Begründe deine Entscheidung. a) i) ii) iii) x f(x) 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f x f’’(x) 2 4 6 –2 2 4 –4 –2 0 f’’ x f’’(x) 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f’’ x f’’(x) 2 4 6 –2 2 –4 –2 0 f’’ b) i) ii) iii) x f(x) 2 –6 –4 –2 2 –6 –4 –2 0 f x f’’(x) 2 –6 –4 –2 2 –6 –4 –2 0 f’’ x f’’(x) 2 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f’’ x f’’(x) 2 4 6 –2 2 4 –4 –2 0 f’’ c) i) ii) iii) x f(x) 4 8 –8 –4 –8 –6 –4 –2 0 f x f’’(x) 4 8 –8 –4 2 4 6 –2 0 f’’ x f’’(x) 4 8 –8 –4 2 4 6 –2 0 f’’ x f’’(x) 4 8 –8 –4 –8 –6 –4 –2 0 f’’ Eine weitere hinreichende Bedingung für Extrempunkte und Wendepunkte In 3.1 wurde bereits eine hinreichende Bedingung für Extremstellen erarbeitet: Ist an einer Stelle p die erste Ableitung null und findet an dieser Stelle ein Monotoniewechsel statt, dann handelt es sich um eine Extremstelle. Mit Hilfe der Krümmung erhält man eine weitere hinreichende Bedingung: Ist an einer Stelle p die erste Ableitung null und die Krümmung negativ, dann handelt es sich um eine Maximumstelle. Ist an einer Stelle p die erste Ableitung null und die Krümmung positiv, dann handelt es sich um eine Minimumstelle. Weitere hinreichende Bedingung für Extremstellen Sei f: D → ℝ mit p ∈ D eine Polynomfunktion, dann gilt: – fʹ(p) = 0 und f″(p) < 0 ⇒ p ist eine lokale Maximumstelle von f – fʹ(p) = 0 und f″(p) > 0 ⇒ p ist eine lokale Minimumstelle von f Da die Wendestellen die Extremstellen der ersten Ableitung sind, kann man obige Bedingung auch auf die erste Ableitung anwenden und erhält: 236 x f(x) 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f (f ist links gekrümmt) lokales Maximum lokales Minimum (f ist rechts gekrümmt) Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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