71 Untersuchung von Polynomfunktionen > Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte Um die Wendetangenten in den beiden Punkten aufzustellen, müssen zuerst die Steigungen berechnet werden. Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung t(x) = k x + d erhält man dann auch den Wert d. k t = fʹ(− 1) = 11 _ 3 ⇒ − 29 _ 12 = 11 _ 3 · (− 1) + d ⇒ d = 5 _ 4 ⇒ t 1(x) = 11 _ 3 x + 5 _ 4 k t = fʹ(7) = − 245 _ 3 ⇒ − 3 773 _ 12 = − 245 _ 3 ·7 + d ⇒ d = 1 029 _ 4 ⇒ t 2(x) = − 245 _ 3 x + 1 029 _ 4 1) Bestimme die Wendepunkte und Krümmungsbereiche der Funktion f. 2) Bestimme die Wendetangente(n) der Funktion. a) f(x) = 1 _ 16 (x 3 − 12 x 2 + 2) f) f(x) = 1 _ 13 (x 4 + 4 x3 − 18 x 2) b) f(x) = 1 _ 128 (x 3 − 36 x 2 − 4) g) f(x) = 1 _ 100 (x 4 + 10 x3) c) f(x) = x 3 + 3 x2 − 3 h) f(x) = x 4 − x 3 d) f(x) = x 3 − 15 x 2 + 45 x + 3 i) f(x) = − x 4 + 24 x2 − 56 x − 3 e) f(x) = − x 3 − 21 x 2 − 102 x + 12 j) f(x) = x 4 − 4 x 3 − 210 x 2 − 12 Bestimmen der Wendepunkte einer Polynomfunktion f Geogebra: Wendepunkt(f) f(x) = x3 – 3 x2 Wendepunkt(f) (1 | –2) TI-Nspire: kann im Graph-Modus berechnet werden Casio: kann unter Analyse in Grafik & Tabelle bestimmt werden Gegeben ist eine Funktion f: D → ℝ und [a; b] ist eine Teilmenge von D. Vervollständige den folgenden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Ist (1) , dann (2) . (1) (2) f″(x) > 0, für alle x ∈ [a; b] ist x eine Wendestelle von f f″(x) = 0 ist f linksgekrümmt in D f″(x) < 0, für alle x ∈ [a; b] ist f in [a; b]rechtsgekrümmt Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f. Kreuze an, auf welche Punkte die gegebenen Eigenschaften zutreffen. A B C D E F G H I 1 f(x) < 0, fʹ(x) = 0, f″(x) < 0 2 f(x) < 0, fʹ(x) = 0, f″(x) > 0 3 f(x) = 0, fʹ(x) < 0, f″(x) = 0 4 f(x) < 0, fʹ(x) > 0, f″(x) > 0 5 f(x) > 0, fʹ(x) = 0, f″(x) < 0 6 f(x) > 0, fʹ(x) = 0, f″(x) > 0 7 f(x) > 0, fʹ(x) > 0, f″(x) = 0 8 f(x) > 0, fʹ(x) < 0, f″(x) < 0 228 Ó Technologie Anleitung Berechnung Wendetangente e76q6t Technologie Ó Technologie Wendepunkte berechnen u693kx AN-R 3.3 M1 229 230 x f(x) 2 4 6 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 –4 –2 0 –6 f A B C D E F G H I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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