70 Untersuchung von Polynomfunktionen > Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte 3 Leider kann man aus der Eigenschaft f″(p) = 0 nicht schließen, dass an dieser Stelle auch eine Wendestelle liegt. In der Abbildung sieht man den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 4. Es gilt f″(x) = 12 x2 und weiters f″(0) = 0. Allerdings ändert f an der Stelle 0 nicht ihr Krümmungsverhalten, somit liegt an dieser Stelle keine Wendestelle vor. Um sicher zu sein, dass eine Stelle p eine Wendestelle ist, kann z.B. das Krümmungsverhalten untersucht werden. Hinreichende Bedingung für Wendestellen einer Polynomfunktion f f″(p) = 0 und f ändert an der Stelle p ihr Krümmungsverhalten ⇒ p ist Wendestelle Gib die Wendestelle(n) der Funktion aus Aufgabe 216 an. Gib alle Wendestellen der Polynomfunktion f an. a) f″(x) > 0 für alle x ∈ (8; ∞) f″(x) < 0 für alle x ∈ (− ∞; 8) b) f″(x) > 0 für alle x ∈ (− ∞; − 4) und x ∈ (1; ∞) f″(x) < 0 für alle x ∈ (− 4; 1) c) f″(x) > 0 für alle x ∈ (− 9; − 6) und x ∈ (1; ∞) f″(x) < 0 für alle x ∈ (− ∞; − 9) und x ∈ (− 6; 1) Vereinfacht gesagt verlaufen bei positiver Krümmung die Tangenten „unterhalb“ des Graphen von f, bei negativer Krümmung oberhalb des Graphen von f. Im Wendepunkt verläuft die Tangente einmal „unterhalb“ und einmal „oberhalb“ des Graphen von f. Wendetangente Ist p eine Wendestelle einer Funktion f, dann nennt man die Tangente von f an der Stelle p Wendetangente. Bestimme die Wendepunkte, die Krümmungsbereiche und die Wendetangenten der Funktion f mit f(x) = x 4 _ 12 − x 3 − 7 x 2 _ 2 . Um die Wendestellen zu bestimmen, setzt man die zweite Ableitung 0. fʹ(x) = x 3 _ 3 − 3 x 2 − 7 x f″(x) = x 2 − 6 x − 7 ⇒ 0 = x 2 − 6 x − 7 Durch Lösen der Gleichung erhält man die beiden möglichen Wendestellen: x 1 = − 1, x 2 = 7. Man erhält drei mögliche Krümmungsbereiche und überprüft mit Hilfe der zweiten Ableitung die Krümmung: (− ∞; − 1) z.B. x = − 2 ⇒ f″(− 2) = 9 ⇒ f ist in (− ∞; − 1]linksgekrümmt. (− 1; 7) z.B. x = 0 ⇒ f″(0) = − 7 ⇒ f ist in [− 1; 7]rechtsgekrümmt. (7; ∞) z.B. x=8 ⇒ f″(8) = 9 ⇒ f ist in [7; ∞)linksgekrümmt. Da sich die Krümmung an den beiden Stellen ändert, hat man zwei Wendestellen erhalten. Nun werden noch die Funktionswerte berechnet: f(− 1) = − 29 _ 12 , f(7) = − 3 773 _ 12 ⇒ W 1 = (− 1 | − 29 _ 12 ) W 2 = (7 | − 3 773 _ 12 ) x f(x) 2 4 –4 –2 2 4 6 –2 0 f Merke 225 226 x f(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 4 –4 –2 0 Wendestelle f Ó Technologie Darstellung Wendetangente z6c25a Merke Muster 227 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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