7 1.1 Lösen durch Herausheben und durch Substitution Lernziele: º Die Definition einer algebraischen Gleichung kennen º Algebraische Gleichungen durch Herausheben lösen können º Algebraische Gleichungen durch Anwenden der Horner’schen Regel lösen können º Biquadratische Gleichungen erkennen können º Biquadratische Gleichungen durch eine passende Substitution lösen können Die Lösung einer einfachen linearen Gleichung a x + b = 0(a ≠ 0) kann durch Anwenden von Äquivalenzumformungen schnell gefunden werden und ist x = − b _ a . Auch die Lösungen allgemeiner quadratischer Gleichungen der Art a · x2 + b · x + c = 0 können durch Anwenden der Lösungsformel ermittelt werden: x 1,2 = − b ± 9 _b 2 − 4 ac _ 2 a . Dabei ist jedoch zu beachten, dass quadratische Gleichungen aufgrund des Vorzeichens der Zahl unter der Wurzel in ℝ nicht immer lösbar sein müssen. Löse die Gleichung in der Menge der reellen Zahlen. a) 2 (x − 3) + 5 x2 = − (2 x + 3) + 5 (x − 1) 2 c) x 2 + 10 x + 34 = 0 b) (3 x − 1) 2 + 4 + x = (3 x − 2) (3 x + 2) d) 16 x 2 − 24 x + 9 = 0 Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist (Produkt-NullSatz). Dieser Satz erweist sich beim Finden der Lösungen bestimmter Gleichungen als nützlich. Löse die Gleichung unter Verwendung des Produkt-Null-Satzes. a) (x − 3) (x + 2) = 0 c) x (x 2 − 6 x + 9) = 0 e) (x + 1) (x 2 + 4 x + 4) = 0 b) x (x − 1) (x + 2) = 0 d) 5 x 2 (x 2 − 3 x − 4) = 0 f) x (x − 4) (x 2 − 2 x + 1) = 0 Im Folgenden werden Gleichungen, deren Grad größer als zwei ist, in der Menge der reellen Zahlen auf ihre Lösbarkeit hin untersucht. Dabei betrachtet man ausschließlich so genannte algebraische Gleichungen. Algebraische Gleichung Eine Gleichung der Art a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a0= 0mit an ≠ 0 und n ∈ ℕ \ {0}, a 0, a 1, …, an ∈ ℝ wird als algebraische Gleichung vom Grad n mit reellen Koeffizienten bezeichnet. a0 heißt konstantes oder absolutes Glied. Gilt für den führenden Koeffizienten a n = 1, dann spricht man von einer normierten algebraischen Gleichung oder von der Normalform. Algebraische Gleichungen können, abhängig von ihrer Gestalt, mit unterschiedlichen Methoden gelöst werden. Kompetenzen Vorwissen 1 t 2 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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