69 Untersuchung von Polynomfunktionen > Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte Wendestelle und Wendetangente So wie Extremstellen Polynomfunktionen in Monotoniebereiche einteilen, gibt es auch Stellen, die Funktionen in Krümmungsbereiche unterteilen. Wendestellen Eine Stelle p heißt Wendestelle einer Funktion f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt W = (p | f(p)) wird Wendepunkt genannt. Um diese Wendestellen zu finden, sind Überlegungen anhand eines Beispiels hilfreich: x f(x) 2 4 6 8 10 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f negative Krümmung positive Krümmung Wendestelle Krümmungswechsel Die Wendestelle unterteilt die Funktion f in zwei Krümmungsbereiche. Für x < − 3ist die Funktion negativ gekrümmt, für x > − 3ist f positiv gekrümmt. An der Stelle − 3, der Wendestelle, ist die Steigung der Tangente am kleinsten. x f’(x) 2 4 6 8 10 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f’ f’ ist streng monoton fallend f’ ist streng monoton steigend Die Wendestelle wird zu einer Extremstelle. Da die Tangentensteigungen von f für x < − 3abnehmen und für x > − 3 zunehmen, ist fʹ zuerst streng monoton fallend, anschließend streng monoton steigend. Da die Steigung der Tangente von f an der Stelle − 3am kleinsten ist, liegt bei fʹ an dieser Stelle eine Extremstelle vor. x f’’(x) 2 4 6 8 10 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f’’ f’’ ist negativ Die Wendestelle wird zu einer Nullstelle. f’’ ist positiv Da an der Stelle − 3bei fʹ eine Extremstelle ist, wird aus dieser in f″ eine Nullstelle. Die Wendestelle ist also in der zweiten Ableitung eine Nullstelle. Die Wendestelle kann man sich auch anhand eines Motorrads vorstellen. Fährt ein Motorrad entlang einer kurvenreichen Strecke, dann wird es oft die Richtung wechseln müssen. Jene Stelle, an der der Lenker vom Rechtseinschlag zum Linkseinschlag wechseln sollte, ist die Wendestelle. Notwendige Bedingung für Wendestellen Ist p eine Wendestelle einer Funktion f, dann ist die Krümmung an dieser Stelle 0. Es gilt daher: p ist Wendestelle ⇒ f″(p) = 0 Merke Ó Technologie Darstellung Wendestellen eq7977 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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