66 Untersuchung von Polynomfunktionen > Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte 3 Krümmung einer Funktion f Eine Funktion f: D → ℝ ([a; b] ist eine Teilmenge von D) heißt – linksgekrümmt in [a; b], wenn fʹ in [a; b] streng monoton steigend ist. – rechtsgekrümmt in [a; b], wenn fʹ in [a; b] streng monoton fallend ist. – einheitlich gekrümmt in [a; b], wenn f in [a; b] nur linksgekrümmt oder nur rechtsgekrümmt ist. Da die Krümmung die Veränderung der ersten Ableitung ist, kann man rechnerisch die Krümmungsart über das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Krümmung einer Funktion f mit Hilfe von f″ Für eine Polynomfunktion f: D → ℝ ([a; b] ist eine Teilmenge von D) gilt: – f″(x) > 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f ist linksgekrümmt in [a; b]. – f″(x) < 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f ist rechtsgekrümmt in [a; b]. Nebenstehende Abbildung ist eine kleine Hilfe, um sich den Unterschied zwischen positiver und negativer Krümmung zu merken. Zeige, dass die Funktion f mit f(x) = x 2 − 3 x + 4 einheitlich gekrümmt ist und gib die Art der Krümmung an. Es wird zuerst die zweite Ableitung von f gebildet: fʹ(x) = 2 x − 3 f″(x) = 2 Da die zweite Ableitung von f für alle x konstant positiv ist, ist f einheitlich links gekrümmt. Zeige, dass die Funktion f einheitlich gekrümmt ist und gib die Art der Krümmung an. a) f(x) = 3 x2 + 5 x + 4 c) f(x) = − 5 x 2 + x − 3 e) f(x) = (x − 4) · (2 − x) b) f(x) = − 2 x 2 + 4 x − 5 d) f(x) = 8 x2 + 4 f) f(x) = (2 x − 7) · (5 − 4 x) In der Abbildung ist der Graph einer Funktion f dargestellt, sowie jene Stellen, an denen die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert, eingezeichnet. Bestimme das Krümmungsverhalten von f. Was kannst du in den einzelnen Bereichen über fʹ und f″ aussagen? Die Funktion wird in drei Intervalle geteilt: (− ∞; − 3] f ist linksgekrümmt, da die Tangentensteigungen zunehmen. ⇒ fʹ ist streng monoton steigend in (− ∞; − 3]. ⇒ f″(x) > 0 für alle x ∈ (− ∞; − 3) [− 3; 2] f ist rechtsgekrümmt, da die Tangentensteigungen abnehmen. ⇒ fʹ ist streng monoton fallend in [− 3; 2]. ⇒ f″(x) < 0 für alle x ∈ (− 3; 2) [2; ∞) f ist linksgekrümmt, da die Tangentensteigungen zunehmen. ⇒ fʹ ist streng monoton steigend in [2; ∞). ⇒ f″(x) > 0 für alle x ∈ (2; ∞) Merke Merke rechtsgekrümmt/ negativ gekrümmt (trauriges Gesicht) x f(x) 2 4 2 4 0 f linksgekrümmt/ positiv gekrümmt (lachendes Gesicht) x f(x) 2 4 2 4 0 f Muster 213 214 Muster 215 x f(x) 2 4 –6 –4 –2 2 –4 –2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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