65 3.2 Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte Lernziele: º Die Begriffe Krümmung, Wendestelle, Wendetangente kennen und anwenden können º Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihrer zweiten Ableitung erkennen und begründen können º Wendestellen und Krümmungsbereiche berechnen können º Den Graphen einer zweiten Ableitungsfunktion erkennen und zuordnen können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.1 D en Begriff Ableitungsfunktion […] kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können AN-R 3.2 D en Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion […] in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können AN-R 3.3 E igenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen Die Krümmung Im vorigen Abschnitt wurde mit Hilfe der ersten Ableitung die Monotonie einer Funktion f untersucht. Dabei betrachtet man die momentane Änderungsrate von f. Auch mit Hilfe der zweiten Ableitung erhält man wichtige Erkenntnisse über die Funktion. Die zweite Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate von fʹ und gibt Auskunft über die Krümmung von f. f ist in [a; b] linksgekrümmt (oder auch positiv gekrümmt) f ist in [a; b] rechtsgekrümmt (oder auch negativ gekrümmt) x f(x) a b f Die Tangentensteigungen von f im Intervall [a; b] werden größer. x f(x) a b f Die Tangentensteigungen von f im Intervall [a; b] werden kleiner. x f’(x) f’ a b Die erste Ableitung von f in [a; b] ist daher streng monoton steigend. x f’(x) f’ a b Die erste Ableitung von f in [a; b] ist daher streng monoton fallend. x f’’(x) f’’ a b Die zweite Ableitung von f in (a; b) ist daher positiv. x f’’(x) f’’ a b Die zweite Ableitung von f in (a; b) ist daher negativ. Kompetenzen Ó Technologie Darstellung Krümmung und f″ 3v4zk6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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