64 Untersuchung von Polynomfunktionen > Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte Berechnen von Randextrema Mit den erarbeiteten Methoden können alle lokalen Extremstellen von Polynomfunktionen ermittelt werden oder auch globale Extremstellen, wenn die Tangenten in den entsprechenden Punkten waagrecht sind. Mögliche globale Extremstellen am Rand, bei denen die Tangenten nicht waagerecht sind, müssen daher extra untersucht und mit den bereits berechneten lokalen Extremstellen verglichen werden. Berechne alle lokalen und globalen Extrempunkte der Funktion f mit f(x) = x 3 _ 3 − 5 x 2 + 21 x − 1 im Intervall [0; 8]. Für die lokalen Extremstellen werden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet: fʹ(x) = x 2 − 10 x + 21 ⇒ 0 = x 2 − 10 x + 21 ⇒ x 1 = 3, x2 = 7 Um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um lokale Extremstellen handelt, muss noch das Monotonieverhalten überprüft werden. fʹ(2) = 5 ⇒ f ist in (− ∞; 3] streng monoton steigend. fʹ(4) = − 3 ⇒ f ist in [3; 7] streng monoton fallend. fʹ(8) = 5 ⇒ f ist in [7; ∞) streng monoton steigend. Daher liegt an der Stelle 3 ein lokales Maximum und an der Stelle 7 ein lokales Minimum. Um herauszufinden, an welchen Stellen die globalen Extremstellen liegen, muss man die Funktionswerte der lokalen Extremstellen mit den Funktionswerten an den Randstellen (bei 0 und 8) vergleichen: f(3) = 26 H = (3 | 26) f(7) = 15,3 T = (7 | 15,3) f(0) = − 1 R 1 = (0 | −1) f(8) = 17,7 R 2 = (8 | 17,7) Man erkennt, dass der kleinste Funktionswert an der Stelle 0, der größte Funktionswert an der Stelle 3 angenommen wird. ⇒ globales Minimum bei 0, globales Maximum bei 3. Tipp: Bei einer globalen Extremstelle muss die erste Ableitung an dieser Stelle nicht 0 sein, da man auch die Randstellen betrachten muss. Berechne alle lokalen und globalen Extrempunkte der Funktion f im gegebenen Intervall. a) f(x) = 0,5 x2 + 3 x + 3 [− 5; 0] e) f(x) = 1 _ 3 x 3 + 1 _ 2 x 2 − 2 x + 1 [− 3; 3] b) f(x) = 0,25 x2 + 2 x − 2 [− 6; 0] f) f(x) = 1 _ 36 · (x 3 − 1,5 x 2 − 90 x + 12) [− 8; 11] c) f(x) = − 0,5 x 2 + 2 x [− 1; 3] g) f(x) = 1 _ 4 x 4 − 1 _ 4 x 3 + 2 x2 [− 1; 3] d) f(x) = 1 _ 9 · (x 3 − 15 x 2 + 63 x) [2; 10] h) f(x) = 1 _ 8 x 4 + 1 _ 6 x 3 − 3 _ 2 x 2 + 1 [− 4; 3] Bestimme jene Punkte des Graphen der Funktion f im angegebenen Intervall, die den größten bzw. kleinsten Funktionswert besitzen. a) f(x) = − 2 x + 3 [− 3; 5] c) f(x) = 1 _ 6 x 3 − 3 _ 4 x 2 [− 1; 5] b) f(x) = (x − 4) · (x + 2) [− 4; 1] d) f(x) = 1 _ 27 x 3 + 1 _ 18 x 2 − 4 _ 3 x + 1 [− 8; 4] Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = − 0,02 t3 + 0,45 t2 + 5 (s in Meter, t in Sekunden) im Zeitintervall [2; 15]. a) Zu welchen Zeitpunkten beträgt die Geschwindigkeit 3 m/s? b) Wann hat der Körper seine höchste Geschwindigkeit erreicht? Wann ist die Geschwindigkeit am niedrigsten? c) In welchen Zeitintervallen nimmt die Geschwindigkeit zu? In welchen Zeitintervallen nimmt sie ab? Muster 209 Ó Technologie Darstellung Randextrema q6d5fg 210 211 212 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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