61 Untersuchung von Polynomfunktionen > Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte 1) Berechne die Nullstellen der Funktion f. 2) Berechne alle Extrempunkte des Graphen von f und gib an, ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind. 3) Bestimme das Monotonieverhalten von f und skizziere den Graphen von f. a) f(x) = 1 _ 9 x 3 − 3 x c) f(x) = − 1 _ 6 x 3 + 2 x e) f(x) = 1 _ 3 x 3 − 1 _ 2 x 2 − 6 x b) f(x) = 1 _ 25 x 3 − 3 x d) f(x) = x 3 − 4 x 2 − 11 x + 30 f) f(x) = 1 _ 5 · (x 3 − 2 x 2 − 21 x − 18) Ermittle die Monotoniebereiche sowie alle lokalen Extremstellen bzw. Sattelstellen von f. a) f(x) = x 3 + 9 x2 + 27x + 2 c) f(x) = 1 _ 4 x 4 − 2 x 3 + 9 _ 2 x 2 b) f(x) = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 10 d) f(x) = x 4 + 16 _ 3 x 3 + 8 x2 Gegeben ist eine Funktion f: D → ℝ und [a; b] ist eine Teilmenge von D. Vervollständige den folgenden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Ist (1) , dann (2) . (1) (2) fʹ(x) > 0, ∀ x ∈ [a; b] ist x eine Extremstelle fʹ(x) = 0 ist f streng monoton steigend in D fʹ(x) < 0, ∀ x ∈ [a; b] ist f in [a; b] streng monoton fallend Nullstellen und Extremstellen Eine Polynomfunktion n-ten Grades besitzt höchstens n Nullstellen und höchstens n − 1 Extremstellen. Besitzt eine Polynomfunktion f an der Stelle p eine doppelte Nullstelle, so liegt an der Stelle p auch eine Extremstelle vor. Berechne die Nullstellen der Funktion f und gib ihre Vielfachheit an. Berechne anschließend die Extremstellen von f. Welcher Zusammenhang fällt dir auf? a) f(x) = x 3 − 3 x 2 b) f(x) = x 3 − 12 x − 16 c) f(x) = x 4 _ 12 − x 2 _ 2 d) f(x) = x 4 − 18 x 2 + 81 Begründe, warum eine Polynomfunktion n‑ten Grades höchstens n − 1 Extremstellen besitzen kann. Interpretation des Graphen der ersten Ableitung Gegeben ist der Graph der ersten Ableitung einer Polynomfunktion f dritten Grades. Gib das Monotonieverhalten von f sowie alle lokalen Extremstellen an. Da die Funktionswerte der ersten Ableitung von f den Steigungen der Tangenten von f entsprechen, gilt folgender Zusammenhang: fʹ(x) < 0 für alle x < − 5 und für alle x ∈ (1; 3). ⇒ f ist streng monoton fallend in (− ∞; − 5] und in [1; 3]. fʹ(x) > 0 für alle x ∈ (− 5; 1) und für alle x > 3. ⇒ f ist streng monoton steigend in [− 5; 1] und [3; ∞). fʹ(x) = 0 für x = − 5; 1; 3 ⇒ A n den Stellen − 5 und 3 liegen daher Minimumstellen, an der Stelle 1 liegt eine Maximumstelle vor. 196 197 AN-R 3.3 M1 198 MerkeÓ Technologie Darstellung doppelte Nullstelle cg3t9i 199 AN-R 3.3 M1 200 x f’(x) 2 4 –6 –4 –2 2 4 –2 0 f’ Muster 201 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=