60 Untersuchung von Polynomfunktionen > Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte 3 Monotonie von Funktionen Da die erste Ableitung an der Stelle p einer Funktion die Steigung der Tangente von f an der Stelle p angibt, kann auch eine Aussage über die Monotonie getroffen werden. Da f im Intervall [0; 2] streng monoton fallend ist, sind die Tangentensteigungen in diesem Intervall an jeder Stelle außer bei 0 und 2 (da hier eine Extremstelle vorliegt) negativ (bei einer Sattelstelle wäre sie 0), d.h. der Graph der ersten Ableitung besitzt im Intervall (0; 2) nur negative Funktionswerte bzw. eine Nullstelle bei 0 und 2. Weitere Überlegungen kann man natürlich auch für die Intervalle (− ∞; 0] und [2; ∞) vornehmen. Monotonie einer Funktion f mit Hilfe von fʹ Ist fʹ(x) für alle x ∈ (a; b) positiv, dann ist f in [a; b] streng monoton steigend: fʹ(x) > 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f ist in [a; b] streng monoton steigend Ist fʹ(x) für alle x ∈ (a; b) negativ, dann ist f in [a; b] streng monoton fallend: fʹ(x) < 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f ist in [a; b] streng monoton fallend Ermittle die Monotoniebereiche sowie alle lokalen Extrempunkte der Funktion f mit f(x) = 1 _ 40 · x 4 − 4 _ 15 · x 3 + 4 _ 5 · x 2 + 1 _ 5. 1. Schritt: Zuerst werden alle möglichen Extremstellen berechnet. Dafür werden jene Stellen gesucht, für die gilt fʹ(x) = 0: fʹ(x) = 1 _ 10 · x 3 − 4 _ 5 · x 2 + 8 _ 5 · x ⇒ 0 = 1 _ 10 · x 3 − 4 _ 5 · x 2 + 8 _ 5 · x Durch Lösen der Gleichung erhält man: x 1 = 0, x2 = 4. Durch Berechnung der Funktionswerte erhält man die möglichen Extrempunkte: f(0) = 0,2; f(4) = 2,33. Durch Zeichnen des Graphen der Funktion erkennt man, dass an der Stelle 0 eine Minimumstelle liegt. Da an der Stelle 4 kein Monotoniewechsel stattfindet, liegt hier eine Sattelstelle: T = (0 | 0,2); S = (4 | 2,33). 2. Schritt: Es wird das Monotonieverhalten von f untersucht. Dabei teilt man den Definitionsbereich in drei Teilintervalle, um die Monotonie zu überprüfen (die drei Teile erhält man mithilfe der möglichen Extremstellen). Es wird die erste Ableitung an einer Stelle innerhalb des Intervalls berechnet: (− ∞; 0) z.B. x = − 1 ⇒ fʹ(− 1) = − 2,5 f ist in (− ∞; 0] streng monoton fallend. (0; 4) z.B.x=1 ⇒ fʹ(1) = 0,9 f ist in [0; 4] streng monoton steigend. (4; ∞) z.B.x=5 ⇒ fʹ(5) = 0,5 f ist in [4; ∞) streng monoton steigend. Man erkennt, dass an der Stelle 4 kein Monotoniewechsel stattfindet. Daher ist die Funktion im Intervall [0; ∞) streng monoton steigend und an der Stelle 4 liegt eine Sattelstelle. An der Stelle 0 befindet sich ein lokales Minimum. Berechnen aller Extrempunkte des Graphen einer Polynomfunktion f Geogebra: Extremum(f) f(x): = x2 + 3 Extremum(f) (0,3) TI-Nspire: kann im Graph-Modus berechnet werden Casio: fMin(Funktion, Variable), fMax(Funktion, Variable) fMin( x 2 + 3 x − 5,x) {MinValue = − 29 _ 4 , x = − 3 _ 2} x f(x) 4 –2 2 4 –4 –2 0 f MerkeÓ Technologie Darstellung Monotonie ef7u2k Muster 195 x f(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 4 6 8 10 0 f Technologie Ó Technologie Extremstellen berechnen q3vu5m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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