59 Untersuchung von Polynomfunktionen > Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte Notwendige Bedingung für Extremstellen Ist p eine lokale Extremstelle einer Funktion f, dann ist die Steigung der Tangente an dieser Stelle 0. Es gilt daher: p ist lokale Extremstelle ⇒ fʹ(p) = 0 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Bestimme jene ganzzahligen Stellen p von f, für die gilt fʹ(p) = 0 und gib an, ob sie lokale Extremstellen sind. Begründe deine Entscheidung. a) x f(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 4 6 –2 0 f b) f(x) x 2 4 6 –6 –4 –2 –8 –6 –4 –2 0 f c) x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 1 –3 –2 –1 0 f Hinreichende Bedingung für Extremstellen Leider kann man aus der Eigenschaft fʹ(p) = 0 nicht schließen, dass an dieser Stelle auch eine Extremstelle liegt, da diese Bedingung nicht hinreichend ist. In der Abbildung sieht man den Graphen der Funktion f mit f(x) = (x − 4) 3 + 3. Obwohl die Tangente an der Stelle 4 parallel zur x-Achse ist, liegt hier keine Extremstelle vor. Eine solche Stelle wird auch Sattel- oder Terrassenstelle genannt. Eine hinreichende Bedingung für eine Extremstelle erhält man, wenn man zu der Eigenschaft fʹ(p) = 0 auch einen Monotoniewechsel fordert. Hinreichende Bedingung für Extremstellen einer Polynomfunktion f fʹ(p) = 0 und f ändert an der Stelle p ihr Monotonieverhalten ⇒ p ist lokale Extremstelle Sattelstelle/Terrassenstelle einer Funktion f Gilt an einer Stelle p einer nicht konstanten Polynomfunktion fʹ(p) = 0 und findet an dieser Stelle kein Monotoniewechsel statt, dann nennt man p eine Sattel- oder Terrassenstelle von f. Der Punkt P = (p | f(p)) wird Sattelpunkt genannt. Berechne alle Punkte P = (p | f(p)) des Graphen von f, für die gilt fʹ(p) = 0. Welche besonderen Punkte erhältst du mit dieser Berechnung? Begründe deine Entscheidung. a) f(x) = x 2 − 6 x + 8 c) f(x) = − 3 x 2 + 2 x − 4 e) f(x) = − 2 x 2 + 5 x − 1 b) f(x) = 6 x2 − x − 12 d) f(x) = 3 x2 − 12 x + 48 f) f(x) = − x 2 + 3 x − 1 Skizziere einen möglichen Graphen der Funktion f. a) f besitzt an der Stelle − 3ein lokales Maximum, an der Stelle 0 eine Sattelstelle und an der Stelle 2 ein lokales Minimum. b) f besitzt an der Stelle − 4ein lokales Minimum, an der Stelle − 1eine Sattelstelle und an der Stelle 3 ein lokales Maximum. MerkeÓ Technologie Darstellung Extremstellen y53ik9 192 x f(x) 2 4 6 –2 2 4 0 f Merke 193 194 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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