58 Untersuchung von Polynomfunktionen > Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte 3 Notwendig und hinreichend Mit den bisherigen Mitteln konnten Extremstellen und Monotonieintervalle nur mit Hilfe von Wertetabellen und Graphen bestimmt werden. Besonders bei nicht ganzzahligen Extremstellen ist diese Methode nicht exakt und aufwendig. Mit Hilfe der Differentialrechnung können Extremstellen berechnet werden. In diesem Abschnitt werden eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für Extremstellen erarbeitet. Gilt für zwei Aussagen A und B, dass B aus A folgt (in Zeichen A → B), dann ist B eine notwendige Bedingung für A und A eine hinreichende Bedingung für B. Die Zusammenhänge werden an folgendem Beispiel gezeigt: A: Das Viereck ist ein Quadrat. B: Das Viereck hat vier gleich lange Seiten. Es gilt A → B, d.h. Aussage B ist notwendig für Aussage A und Aussage A ist hinreichend für Aussage B. (Für ein Quadrat ist es notwendig, dass das Viereck vier gleich lange Seiten hat.) Da aus B nicht automatisch A folgt (B → A), ist die Aussage „Das Viereck hat vier gleich lange Seiten“ nicht hinreichend dafür, dass das Viereck ein Quadrat ist (es könnte auch eine Raute ohne rechte Winkel sein). Gib an, ob die Aussage A hinreichend bzw. notwendig für die Aussage B ist. Gib weiters an, ob die Aussage B hinreichend bzw. notwendig für die Aussage A ist. a) A: „Die Zahl ist größer als 2 und ungerade.“ B: „Die Zahl ist eine ungerade Primzahl.“ b) A: „Die Straße ist nass.“ B: „Es regnet.“ c) A: „Das Tier ist eine Biene.“ B: „Das Tier hat einen Stachel.“ d) A: „Die Diagonalen des Vierecks stehen normal aufeinander.“ B: „Das Viereck ist eine Raute.“ e) A: „x und y sind zwei gerade natürliche Zahlen.“ B: „Die Summe der beiden Zahlen x und y ist gerade.“ Notwendige Bedingung für Extremstellen In der linken Abbildung sieht man den Graphen einer Polynomfunktion dritten Grades (f), sowie die Tangenten an bestimmten Punkten eingezeichnet. In der rechten Abbildung sieht man den Graphen der ersten Ableitung von f. Die Funktionswerte der ersten Ableitung geben – wie in Kapitel 2 erarbeitet – die Steigungen der Tangenten von f an. x f(x) 1 2 2 1 3 –3 –2 –1 –1 0 f x f’(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 –2 –3 –1 0 f’ Betrachtet man nun die Steigungen der Tangenten von f, so erkennt man, dass bei den lokalen Extremstellen von f die Tangenten parallel zur x‑Achse verlaufen. Die Nullstellen von fʹ stimmen mit den zwei lokalen Extremstellen von f überein. Somit erhält man eine notwendige Bedingung für die Berechnung von Extremstellen. Ist p eine lokale Extremstelle von f, dann folgt fʹ(p) = 0. Ó Vertiefung Aussagenlogik d5c532 191 Ó Arbeitsblatt Aussagen ha4rh9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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