56 Untersuchung von Polynomfunktionen > Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte 3 Gegeben ist der Graph der Funktion f. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion f im Intervall 1) [a; b] 2) [b; c] 3) [c; d] 4) [d; e] 5) [a; e]. a) x f(x) f a c d e b b) x f(x) f a b c d e Nullstellen und Extremstellen bestimmen stark das Aussehen und damit das Verhalten einer Funktion. Diese Begriffe wurden in Lösungswege 5 und Lösungswege 6 erarbeitet. In nebenstehender Abbildung sind die Begriffe globale und lokale Extremstellen sowie die Nullstellen einer Funktion f in einem Intervall veranschaulicht. Nullstellen und Extremstellen einer Funktion f Als globale Maximumstelle einer Funktion f: D → ℝ bezeichnet man eine Stelle p, für die gilt: f(p) ≥ f(x) für alle x ∈ D. Als globale Minimumstelle einer Funktion f: D → ℝ bezeichnet man eine Stelle p, für die gilt: f(p) ≥ f(x) für alle x ∈ D. Als lokale Maximumstelle/Minimumstelle einer Funktion f: D → ℝ bezeichnet man eine Stelle p, die innerhalb einer Umgebung U (U ⊂ D) von p Maximumstelle/Minimumstelle ist. Ist f eine Polynomfunktion (vom Grad größer als 1), dann findet an der Stelle p ein Monotoniewechsel statt. Ist p eine lokale Minimumstelle von f, dann nennt man den Punkt T = (p | f(p)) Tiefpunkt des Graphen von f. Ist p eine lokale Maximumstelle von f, dann nennt man den Punkt H = (p | f(p)) Hochpunkt des Graphen von f. Unter der Nullstelle einer Funktion f versteht man jene Stelle, an der der Graph der Funktion die x-Achse schneidet, d.h. es gilt: p ist Nullstelle von f ⇒ f(p) = 0 In der Abbildung sieht man den Graphen einer Funktion f: [− 4; 7] → ℝ. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A 0 ist eine Nullstelle von f. B − 2ist eine lokale Minimumstelle von f. C − 4ist eine globale Minimumstelle von f. D 4 ist keine globale Minimumstelle von f. E f ist in [− 2; 4] streng monoton fallend. 185 x f(x) f globales Minimum Nullstellen lokales Minimum globales und lokales Maximum Merke FA-R 1.5 M1 186 x f(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 –6 –4 –2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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