Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schülerbuch

AN-R 2.1 AG-R 4.2 AN-R 1.3 AG-R 4.1 FA-R 2.2 AG-R 4.1 AN-R 1.3 AN-R 1.3 FA-R 2.3 AN-R 1.3 AN-R 1.1 AN-R 1.3 51 Weg zur Matura Grundlagen der Differentialrechnung > Teil-2-Aufgaben Steigungswinkel einer Funktion Der Steigungswinkel einer Geraden ist definiert als jener Winkel zwischen 0° und 180°, den die Gerade mit der x-Achse einschließt. Dieser Winkel kann mittels k​ = tan​(α) ​berechnet werden. In der Abbildung sieht man den Graphen der Funktion f mit ​f​(x) ​= ​x ​2 ​− 3 x + 5​, sowie den Graphen der Tangente t mit ​t​(x) ​= 3 x − 4​von f an der Stelle 3. a) 1) Berechne die momentane Änderungsrate der Funktion f an den Stellen 3 und 5. b) 1) Bestimme jenen Punkt der Funktion f, in dem die Tangente einen Steigungswinkel von 135° besitzt. c) 1) Berechne den Steigungswinkel der Geraden t. d) 1) Gegeben sind die beiden Geraden u mit u​ ​(x) ​= k x + d​und v mit ​v​(x) ​= − k x + s.​ Erkläre mit Hilfe der Trigonometrie, welcher Zusammenhang zwischen dem Steigungswinkel von u und dem Steigungswinkel von v besteht. Druck in einem Behälter Der Druck in einem Behälter ändert sich während eines zehn Minuten dauernden Experiments. Die Funktion p mit der Gleichung p​ ​(t) ​= ​5 _ 108 ​​t ​ 3 ​− ​5 _ 12 ​​t ​ 2 ​+ 7​ beschreibt die Höhe des Drucks in Abhängigkeit von der Zeit t (p in bar, t in min). In der Abbildung sieht man den Graphen der Funktion p. a) 1) Berechne die momentane Änderungsrate von p zum Zeitpunkt t​ = 8​. 2) Angenommen, die momentane Änderungsrate bleibt ab dem Zeitpunkt t​ = 8​bis zum Ende des Experiments gleich. Gib die Größe des Drucks am Ende des Experiments an. b) 1) Bestimme rechnerisch ein Intervall ​[0; u] ​so, dass die mittlere Änderungsrate in diesem Intervall 0 ist. c) 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die mittlere Änderungsrate von p in ​[0; 8] ​ist negativ.  B Der Differentialquotient von p an der Stelle 3 ist positiv.  C Es gibt eine Stelle k im Intervall ​[0; 10]​, für die gilt ​p‘​(k) ​= 0​.  D Die absolute Änderung von p im Intervall ​[4; 7] ​ist positiv.  E Die momentane Änderungsrate von p ist für alle x​ ∈ ​[7; 10] ​negativ.  M2 169‌ x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 8 –2 0 f t α M2 170‌ t p(t) 2 4 6 8 10 12 –2 2 4 6 8 10 0 p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=