47 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Es gilt s‘‘(t) = − 4. Gib die Bedeutung dieses Ausdrucks im gegebenen Kontext an. (s in Meter, t in Sekunden) Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Es gilt s‘‘(t) = 0. Gib die Bedeutung dieses Ausdrucks im gegebenen Kontext an. (s in Meter, t in Sekunden) Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Interpretiere den Ausdruck lim b→a s‘(b) − s‘(a) ______ b − a im gegebenen Kontext. (s in Meter, t in Sekunden) Zusammenfassung Änderungsmaße Sei f eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a; b] definiert ist. Dann heißt º f(b) − f(a) die absolute Änderung von f in [a; b], º f(b) − f(a) _ f(a) relative Änderung von f in [a; b], º f(b) _ f(a) Änderungsfaktor von f in [a; b], º f(b) − f(a) _ b − a mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient) von f in [a; b], º df _ dx = f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x momentane oder lokale Änderungsrate (Differentialquotient, 1. Ableitung) von f an der Stelle x. Differenzenquotient/Differentialquotient einer Funktion f Den Differenzenquotienten (mittlere Änderungsrate) einer Funktion f in [a; b] kann man als Steigung k der Sekante von f in [a; b]interpretieren. Der Differentialquotient von f an der Stelle x, ist die Steigung der Tangente im Punkt P (x|f(x)). Die Steigung dieser Tangente wird auch als die Steigung von f an der Stelle x bezeichnet. Ableitungsfunktion einer Funktion f Eine Funktion f‘: D → ℝ nennt man Ableitungsfunktion von f (oder kurz „Ableitung von f“). Der Funktionswert von f‘an der Stelle x entspricht der Steigung der Tangente von f an der Stelle x. Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man ableiten oder differenzieren. Leitet man eine Funktion mehrmals ab, dann nennt man f‘‘die zweite Ableitung von f, f‘‘‘ die dritte Ableitung von f usw. Ableitungsregeln Potenzregel (Ableitung von Potenzfunktionen) f(x) = x n (n ∈ ℕ \ {0}) → f‘(x) = n·xn−1 Regel der multiplikativen Konstante (k · f(x))‘ = k · f‘(x) Ableitung einer konstanten Funktion f(x) = c, (c ∈ ℝ) → f‘(x) = 0 Summen- bzw. Differenzenregel (h(x) ± g(x))‘ = h‘(x) ± g‘(x) AN-R 1.3 M1 156 AN-R 1.3 M1 157 AN-R 1.3 M1 158 Ó Arbeitsblatt s – v – a f4j74r x y 2 4 6 b 8 10 –2 2 a 4 6 –4 –2 0 f Sekante von f in [a; b] P(x|f(x)) Tangente von f an der Stelle x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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