Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schülerbuch

47 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Es gilt s​‘‘​(t) ​= − 4​. Gib die Bedeutung dieses Ausdrucks im gegebenen Kontext an. (s in Meter, t in Sekunden) Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Es gilt s​‘‘​(t) ​= 0.​ Gib die Bedeutung dieses Ausdrucks im gegebenen Kontext an. (s in Meter, t in Sekunden) Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Interpretiere den Ausdruck ​lim​ b→a ​​ s‘​(b) ​− s‘​(a)​ ______ b − a ​ im gegebenen Kontext. (s in Meter, t in Sekunden) Zusammenfassung Änderungsmaße Sei f eine reelle Funktion, die auf dem Intervall ​[a; b] ​definiert ist. Dann heißt º ​f​(b) ​− f​(a) ​ die absolute Änderung von f in ​[a; b],​ º ​ f​(b) ​− f​(a)​ _ f​(a)​ ​ relative Änderung von f in ​[a; b],​ º ​ f​(b)​ _ f​(a)​ ​ Änderungsfaktor von f in ​[a; b],​ º ​ f​(b) ​− f​(a)​ _ b − a ​ mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient) von f in ​[a; b],​ º ​ df _ dx ​= f‘​(x) ​= ​lim​ z→x ​ ​ f​(z) ​− f​(x)​ _ z − x ​ momentane oder lokale Änderungsrate (Differentialquotient, 1. Ableitung) von f an der Stelle x. Differenzenquotient/Differentialquotient einer Funktion f Den Differenzenquotienten (mittlere Änderungsrate) einer Funktion f in ​[a; b] ​kann man als Steigung k der Sekante von f in ​[a; b]​interpretieren. Der Differentialquotient von f an der Stelle x, ist die Steigung der Tangente im Punkt P​ ​(x​|​f​(x)​).​ Die Steigung dieser Tangente wird auch als die Steigung von f an der Stelle x bezeichnet. Ableitungsfunktion einer Funktion f Eine Funktion f​‘: D → ℝ ​nennt man Ableitungsfunktion von f (oder kurz „Ableitung von f“). Der Funktionswert von f​‘​an der Stelle x entspricht der Steigung der Tangente von f an der Stelle x. Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man ableiten oder differenzieren. Leitet man eine Funktion mehrmals ab, dann nennt man f​‘‘​die zweite Ableitung von f, f​‘‘‘​ die dritte Ableitung von f usw. Ableitungsregeln Potenzregel (Ableitung von Potenzfunktionen) ​f​(x) ​= ​x ​n​ (​n ∈ ℕ \ ​{0}​) ​→ f‘​(x) ​= n·​x​n−1​ Regel der multiplikativen Konstante ​(k · f​(x)​)​‘ = k · f‘​(x)​ Ableitung einer konstanten Funktion ​f​(x) ​= c​, (​c ∈ ℝ​) ​→ f‘​(x) ​= 0​ Summen- bzw. Differenzenregel ​(h​(x) ​± g​(x)​)​‘ = h‘​(x) ​± g‘​(x)​ AN-R 1.3 M1 156‌ AN-R 1.3 M1 157‌ AN-R 1.3 M1 158‌ Ó Arbeitsblatt s – v – a f4j74r x y 2 4 6 b 8 10 –2 2 a 4 6 –4 –2 0 f Sekante von f in [a; b] P(x|f(x)) Tangente von f an der Stelle x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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