46 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln 2 Höhere Ableitungen Es ist auch möglich, eine Funktion öfter als einmal zu differenzieren. Dabei bezeichnet man mit f‘‘die Ableitung von f‘, mit f‘‘‘die Ableitung von f‘‘usw. Höhere Ableitungen Ist f: ℝ → ℝ eine Funktion, dann nennt man f‘(x) („f Strich“) die erste Ableitung von f, f‘‘(x) („f zwei Strich“) die zweite Ableitung von f, f‘‘‘(x) („f drei Strich“) die dritte Ableitung von f, fIV die vierte Ableitung von f. Bilde die ersten vier Ableitungen der Funktion f mit f(x) = 3 x 3 _ 5 − 3 _ 4 x 2 + 5 x − 7. f‘(x) = 9 x 2 _ 5 − 3 _ 2 x+5 f‘‘(x) = 18 x _ 5 − 3 _ 2 f‘‘‘(x) = 18 _ 5 f IV(x) = 0 Bilde die ersten vier Ableitungen der Funktion f. a) f(x) = − 2 x 5 + 3 x3 + 2 x2 − 4 d) f(x) = − 2 x 4 _ 7 + 3 _ 4 x 3 − 2 x − 1 b) f(x) = − 3 x 6 + 12 x3 − 5 x 2 − 3 x e) f(x) = − 2 x 5 _ 7 + 3 _ 4 x 3 − 2 x 2 + x − 7 c) f(x) = x 5 + 12 x4 − 6 x 3 + 2 x − 1 f) f(x) = 3 x 3 _ 5 − 3 _ 2 x 4 + x − 1 Leite die Funktion so oft ab, bis du eine konstante Funktion erhältst. a) f(x) = − 4 x 4 − 5 x 3 − x 2 − 4 x c) f(x) = − 3 x 3 _ 8 + 3 _ 4 x 2 − 5 x + 7 b) f(x) = x 6 + 3 x3 − 2 x 2 − x d) f(x) = − 2 x 5 _ 3 + 1 _ 4 x 2 − x − 7 Erkläre, wie oft man eine Polynomfunktion vom Grad n > 1jedenfalls ableiten muss, bis man eine Funktion der Form h (x) = 0erhält. Begründe deine Entscheidung. Tipp: Die höchste Hochzahl der Potenz der unabhängigen Variablen in einer Polynomfunktion gibt den Grad der Polynomfunktion an. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an. Die zweite Ableitung gibt die momentane Änderungsrate der ersten Ableitung an. Bei einer Zeit-Ort-Funktion s in Abhängigkeit von der Zeit, erhält man, mit Hilfe der ersten Ableitung, die momentane Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t. Leitet man diese Geschwindigkeit noch einmal ab, s‘‘(t) = v‘(t), erhält man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Diese wird Beschleunigung a(t) genannt. Gegeben ist die Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = 2 t2 (s in Meter, t in Sekunden). Berechne die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 3 s. v(t) = s‘(t) = 4 t a(t) = v‘(t) = s‘‘(t) = 4 v(3) = 12m/s a (3) = 4m/s2 Gegeben ist die Zeit-Ort-Funktion s (s in Meter, t in Sekunden). Berechne die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zum Zeitpunkt u. a) s(t) = 3 t2 u = 3 c) s(t) = 0,3 t2 +t u =7 e) s(t) = 3 t3 +1 u=2 b) s (t) = 2 t2 u = 5 d) s(t) = 3 t2 − 2t u = 3 f) s(t) =3t+1 u =3 MerkeÓ Technologie Anleitung v8mu9e Muster 150 151 152 153 Muster 154 155 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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