45 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln Leibniz’sche Schreibweise Sehr oft wird der Differenzen- und Differentialquotient auch anders angeschrieben. Diese Schreibweise geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück und wird in den Naturwissenschaften oft verwendet. Dabei hat er folgende Schreibweise verwendet: z − x = ∆x (Delta x) f(z) − f(x) = ∆y oder f(z) − f(x) = ∆ f Mit Hilfe dieser Abkürzungen kann der Differenzen- und Differentialquotient umgeschrieben werden. Differenzenquotient Differentialquotient f(z) − f(x) _ z − x = ∆ y _ ∆ x f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x = lim ∆x→0 ∆ y _ ∆ x = lim ∆x→0 ∆ f _ ∆ x Nähert sich beim Differentialquotienten z unbegrenzt der Zahl x, so werden ∆ yund ∆ximmer kleiner. Den Grenzwert, der bis jetzt mit f‘(x) bezeichnet wurde, nannte Leibniz dy __ dx bzw. df __ dx. Die Teile dy und dx nannte er Differentiale und den Ausdruck dy __ dx bzw. df __ dx Differentialquotient. Da die beiden Differentiale in diesem Zusammenhang als Bruch keinen Sinn machen, wird der Ausdruck als „d ynach d x“ bzw. „d fnach d x“ gelesen. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 3 − 3 x 2 + 5 x − 7. Berechne f‘(x) und schreibe mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise an. df _ dx = 3 x 2 − 6 x + 5 Berechne die erste Ableitung der Funktion f und schreibe diese mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise an. a) f(x) = x 3 − 3 x 2 + 5 x − 7 c) f(c) = c 8 − 4 c 3 + c − 2 b) f(a) = a 4 − 7 a 2 + 5 a d) f(v) = − 3 v 3 + 2 v2 − 5 v + 1 Schreibe die Aussage in der Schreibweise von Leibniz an. a) U‘(s) = lim z→s U(z) − U(s) _ z − s b) R‘(t) = lim z→t R(z) − R(t) _ z − t c) V‘(r) = lim z→r V(z) − V(r) _ z − r Berechne die Ableitung dS _ da und dS _ db der Funktion S mit S (a, b) = a 3 + 3 a2 b + 3b3. dS _ da bedeutet, dass die Funktion S nach a abgeleitet und b wie eine Konstante behandelt wird: S‘(a) = dS _ da = 3 a 2 + 6 a b dS _ db bedeutet, dass die Funktion S nach b abgeleitet und a wie eine Konstante behandelt wird: S‘(b) = dS _ db = 3 a 2 + 9 b2 Berechne die gesuchten Ableitungen. a) V(r, h) = r 2 π h dV _ dr , dV _ dh d) U(a, b) = a 2 + 2ab + b2 dU _ da , dU _ db b) V (r, h) = r 2 π + 2rπh dV _ dr , dV _ dh e) A(x, y, z) = x 3 + x 2 y + xz3 + xy dA _ dx , dA _ dy , dA _ dz c) R(r, h) = r 2 πh+h dR _ dr , dR _ dh f) A(x, y, z) = x 3 y 2 +x+y3 + z 3 + xyz dA _ dx , dA _ dy , dA _ dz Muster 145 t 146 147 Muster 148 149 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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