Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schülerbuch

45 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln Leibniz’sche Schreibweise Sehr oft wird der Differenzen- und Differentialquotient auch anders angeschrieben. Diese Schreibweise geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück und wird in den Naturwissenschaften oft verwendet. Dabei hat er folgende Schreibweise verwendet: ​z − x = ∆x​ (Delta x) ​f​(z) ​− f​(x) ​= ∆y​ oder ​f​(z) ​− f​(x) ​= ∆ f​ Mit Hilfe dieser Abkürzungen kann der Differenzen- und Differentialquotient umgeschrieben werden. Differenzenquotient Differentialquotient ​ f​(z) ​− f​(x)​ _ z − x ​= ​ ∆ y _ ∆ x ​ ​f‘​(x) ​= ​lim​ z→x ​ ​ f​(z) ​− f​(x)​ _ z − x ​= ​lim​ ∆x→0 ​ ​ ∆ y _ ∆ x ​= ​lim​ ∆x→0 ​ ​∆ f _ ∆ x​ Nähert sich beim Differentialquotienten z unbegrenzt der Zahl x, so werden ∆​ y​und ​∆x​immer kleiner. Den Grenzwert, der bis jetzt mit f​‘​(x) ​bezeichnet wurde, nannte Leibniz ​ dy __ dx ​bzw. ​ df __ dx​. Die Teile dy und dx nannte er Differentiale und den Ausdruck ​ dy __ dx ​bzw. ​ df __ dx ​Differentialquotient. Da die beiden Differentiale in diesem Zusammenhang als Bruch keinen Sinn machen, wird der Ausdruck als „d​ y​nach d​ x​“ bzw. „d​ f​nach d​ x​“ gelesen. Gegeben ist die Funktion f mit f​​(x) ​= ​x ​3 ​− 3 ​x ​2 ​+ 5 x − 7​. Berechne ​f‘​(x) ​und schreibe mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise an. ​df _ dx ​= 3 ​x​ 2 ​− 6 x + 5​ Berechne die erste Ableitung der Funktion f und schreibe diese mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise an. a) ​f​(x) ​= ​x ​3 ​− 3 ​x ​2 ​+ 5 x − 7​ c) ​f​(c) ​= ​c ​8 ​− 4 ​c ​3 ​+ c − 2​ b) ​f​(a) ​= ​a ​4 ​− 7 ​a ​2 ​+ 5 a​ d) ​f​(v) ​= − 3 ​v ​3 ​+ 2 ​v​2 ​− 5 v + 1​ Schreibe die Aussage in der Schreibweise von Leibniz an. a) ​U‘​(s) ​= ​lim​ z→s ​ ​ U​(z) ​− U​(s)​ _ z − s ​ b) ​R‘​(t) ​= ​lim​ z→t ​ ​ R​(z) ​− R​(t)​ _ z − t ​ c) ​V‘​(r) ​= ​lim​ z→r ​ ​ V​(z) ​− V​(r)​ _ z − r ​ Berechne die Ableitung ​dS _ da ​ und ​ dS _ db ​der Funktion S mit S​ ​(a, b) ​= ​a ​ 3 ​+ 3 ​a​2 ​b + 3​b​3.​ ​dS _ da ​bedeutet, dass die Funktion S nach a abgeleitet und b wie eine Konstante behandelt wird: ​S‘​(a) ​= ​dS _ da ​= 3 ​a​ 2 ​+ 6 a b​ ​dS _ db ​bedeutet, dass die Funktion S nach b abgeleitet und a wie eine Konstante behandelt wird: ​S‘​(b) ​= ​dS _ db ​= 3 ​a​ 2 ​+ 9 ​b​2​ Berechne die gesuchten Ableitungen. a) ​V​(r, h) ​= ​r ​2 ​π h ​ ​dV _ dr ,​ ​ dV _ dh​ d) ​U​(a, b) ​= ​a ​ 2 ​+ 2ab + ​b​2 ​ ​dU _ da ,​ ​ dU _ db ​ b) V​ ​(r, h) ​= ​r ​2 ​π + 2rπh​ ​dV _ dr ,​ ​ dV _ dh​ e) ​A​(x, y, z) ​= ​x ​ 3 ​+ ​x ​2 ​y + ​xz​3 ​+ xy​ ​dA _ dx ,​ ​ dA _ dy ,​ ​ dA _ dz ​ c) ​R​(r, h) ​= ​r ​2 ​πh+h​ ​dR _ dr ,​ ​ dR _ dh ​ f) ​A​(x, y, z) ​= ​x ​ 3 ​​y ​2 ​+x+​y​3 ​+ ​z ​3 ​+ xyz​ ​dA _ dx ,​ ​ dA _ dy ,​ ​ dA _ dz ​ Muster 145‌ t 146‌ 147‌ Muster 148‌ 149‌ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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