Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schülerbuch

42 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln 2 Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente der Funktion f im Punkt (p​ ​|​f​(p)​). a) ​f​(x) ​= 3 ​x​2 ​− 3 x ​ p​ = − 4​ d) ​f​(x) ​= − 2 ​x ​3 ​+ ​x ​2 ​ ​p = 0,5​ b) ​f​(x) ​= − 4 ​x ​2 ​+12x​ ​p = 1​ e) ​f​(x) ​= ​x ​2 ​− 6x+9​ p​ = − 2​ c) ​f​(x) ​= 3 ​x​3 ​− 3 ​x ​2 ​ ​p = 1​ f) ​f​(x) ​= − 12 x​ ​3 ​ ​p = 0​ Funktionsgleichung der Tangente einer Funktion f an einer Stelle p Geogebra: Tangente(Stelle,Funktion) ​f​(​x​) ​:= 3​x​2​ Tangente(2,f) ​y = 12 x − 12​ TI-Nspire: tangentLine(Funktion, Variable, Stelle) ​f​(​x​) ​:= 3​x​2​ tangentLine(f(x),x,2) ​12 x − 12​ Casio: tanLine(Term, Variable, Stelle) tanLine(​3 ​x​2​,x,2) 12 ​​x − 12​ Ermittle jene Punkte des Graphen der Funktion f mit f​​(x) ​= ​x ​3 ​− 3 ​x ​2 ​+ 5​, in denen die Steigung der Tangente gleich 9 ist. Die Steigungen der Tangenten an die Funktion erhält man mit Hilfe der ersten Ableitung. ​f‘​(x) ​= 3 ​x​2 ​− 6 x​ Da jene Punkte gesucht sind, deren Tangente die Steigung 9 besitzen, muss gelten: ​f‘​(x) ​= 9 → 3 ​x ​2 ​− 6 x = 9 → ​x ​2 ​− 2 x − 3 = 0​ Durch Lösen der Gleichung erhält man x​ ​1 ​= − 1​ und ​x​2 ​= 3​. Durch Einsetzen in die Funktion f erhält man die y-Werte und somit die gesuchten Punkte. ​f​(− 1) ​= 1 f​(3) ​= 5 → ​P ​1 ​= (− 1|1) ​P​2 ​= (3|5)​ Ermittle jene Punkte des Graphen der Funktion f, in denen die Steigung der Tangente gleich r ist. a) ​f​(x) ​= 6 ​x​2 ​− 12 x ​ ​r = 4​ c) f​​(x) ​= − 3 ​x ​3 ​+ 9 ​x​2 ​+ 4​ r​ = − 216​ b) ​f​(x) ​= − 2 ​x ​2 ​+ 15 x − 4​ r​ = − 9​ d) ​f​(x) ​= ​x ​3 ​− 6 ​x ​2 ​ ​r = − 9​ Bestimme alle Punkte auf dem Graphen der Funktion f mit f​​(x) ​= ​x ​4 ​− 38 ​x ​2 ​+ 5​, in denen die Tangente parallel zur Geraden g mit ​120 x + y = − 3 ​ist. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung besitzen. Aus diesem Grund muss zuerst die Steigung von g abgelesen werden: g​ : y = − 120 x − 3 → k = − 120​ Um nun alle Punkte auf dem Graphen von f zu finden, in denen die Steigung der Tangente ​ − 120​ist, muss die erste Ableitung von f gebildet werden. Anschließend setzt man f​‘​(x)​ gleich der Steigung k: f​‘​(x) ​= 4 ​x​3 ​− 76 x → − 120 = 4 ​x​3 ​− 76 x​ Durch Lösen der Gleichung mit z.B. Polynomdivision oder Technologie erhält man: ​x ​1 ​= − 5 ​ x​ ​2 ​= 2​ ​x​3 ​= 3​ Durch Einsetzen der x-Werte in die Funktion erhält man die Funktionswerte und damit die gesuchten Punkte: f​​(− 5) ​= − 320​ ​ f​(2) ​= − 131​ ​f​(3) ​= − 256​ ​P ​1 ​= (− 5|− 320)​ P​ ​2 ​= (2|− 131​) P​ ​3 ​= (3|− 256)​ Bestimme alle Punkte auf dem Graphen der Funktion f, in denen die Tangente parallel zur Geraden g ist. a) ​f​(x) ​= ​x ​2 ​− 5x+4​ ​ g:x − 2 y = 3​ c) ​f​(x) ​= ​​x ​ 3​ _ 3 ​− ​ 7 x​ ​2​ _ 2 ​+3x+4​ g​ : 81 x + 9 y = 5​ b) f​​(x) ​= 3 ​x​2 ​− 2 x + 6​ ​g: 3 x = 5 + 3 y​ d) ​f​(x) ​= ​​x ​ 4​ _ 4 ​− 2 ​x ​ 3 ​− ​9 ​x ​ 2​ _ 2 ​+ 1​ ​g: − 14 x = 5 + y​ 131‌ Technologie Ó Technologie Anleitung Tangenten xh98rg Muster 132‌ 133‌ Muster 134‌ 135‌ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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