Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schülerbuch

39 2.3 Einfache Ableitungsregeln Lernziele: º Die Ableitungsfunktion einer Funktion definieren, interpretieren und bilden können º Die Potenzregel, Summenregel, Differenzenregel anwenden können º Die Gleichung der Tangente an eine Funktion an einer Stelle aufstellen können º Höhere Ableitungen bilden können º Die Schreibweise von Leibniz anwenden können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 1.3 D en Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können AN-R 2.1 E infache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für ​[k · f​(x)​]​‘​ […] AN-R 3.1 D en Begriff Ableitungsfunktion […] kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können Das Berechnen des Differentialquotienten kann recht aufwändig sein. Um diese Berechnung zu vereinfachen, kann man mit Hilfe von Regeln die Ableitungsfunktion von f bilden. Ableitungsfunktion einer Funktion f Die Funktion ​f‘: D → ℝ ​nennt man Ableitungsfunktion von f (oder kurz Ableitung von f). Der Funktionswert von f​‘​an der Stelle x entspricht der Steigung der Tangente von f an der Stelle x. Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man ableiten oder differenzieren. Berechne die Ableitungsfunktion von f mit f​​(x) ​= ​x ​5.​ Durch Anwendung der Regel von Horner und anschließendem Kürzen erhält man: ​f‘​(x) ​= ​lim​ z→x ​ ​​z ​ 5 ​− ​x ​5​ _ z − x ​= ​lim​ z→x ​ ​ ​(z − x) ​· ​(​z ​4 ​+ ​z ​3 ​x + ​z​2 ​​x ​2 ​+ z ​x​3 ​+ ​x ​4​)​ __________________ ​z − x​ ​= ​x ​ 4 ​+ ​x ​3 ​·x + ​x​2 ​· ​x ​2 ​+ x·​x​3 ​+ ​x ​4 ​= 5 ​x​4​ Bilde die Ableitungsfunktion von f mit Hilfe des Differentialquotienten. a) ​f​(x) ​= ​x ​2​ b) ​f​(x) ​= ​x ​3​ c) ​f​(x) ​= ​x ​4​ d) ​f​(x) ​= ​x ​5​ e) ​f​(x) ​= ​x ​7​ Wendet man die Definition des Differentialquotienten auf eine Potenzfunktion f mit f​​(x) ​= ​x ​n​ (​n ∈ ℕ \ ​{0}​) an, so erhält man die Potenzregel. Potenzregel (Ableitung von Potenzfunktionen) Die Ableitungsfunktion einer Funktion f​: ℝ → ℝ ​mit ​f​(x) ​= ​x ​n​ (​n ∈ ℕ \ ​{0}​) ist gegeben durch: f​‘​(x) ​= n·​x​n−1​ Beweis: Es gilt: f​‘​(x) ​= ​lim​ z→x ​ ​ f​(z) ​− f​(x)​ _ z − x ​= ​lim​ z→x ​ ​​z ​ n ​− ​x ​n​ _ z − x ​ Durch Anwendung der Regel von Horner erhält man: ​f‘​(x) ​= ​lim​ z→x ​ ​​z ​ n ​− ​x ​n​ _ z − x ​= ​lim​ z→x ​  ​ ​(z − x)​·​(​z ​n−1 ​+ ​z ​n−2 ​x + ​z​n−3 ​​x ​2 ​+ … + ​z ​1 ​​x ​n−2 ​+ ​x ​n−1​)​ ________________________ ​z − x​ ​ = ​lim​ z→x ​ ​(​z ​n−1 ​+ ​z ​n−2 ​x + ​z​n−3 ​​x ​2 ​+ … + ​z ​1 ​​x ​n−2 ​+ ​x ​n−1​) ​= ​x ​n−1 ​+ ​x ​n−2 ​x + … + x ​x ​n−2 ​+ ​x ​n−1​ Fasst man obigen Ausdruck zusammen erhält man: f​‘​(x) ​= n·​x​n−1​ Kompetenzen Merke Muster 116‌ t 117‌ Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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