36 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient 2 Geometrische Interpretation des Differentialquotienten – Steigung der Tangente Wie kann der Differentialquotient geometrisch interpretiert werden? In der ersten Abbildung sieht man eine Funktion f, zwei Punkte X und Z sowie die Sekante von f in [x; z]. Um den Differentialquotienten geometrisch interpretieren zu können, lässt man den Punkt Z entlang der Funktion f immer näher in Richtung X „wandern“ (vergleiche mittlere Abbildung). Theoretisch nähert sich der Punkt Z unendlich nahe dem Punkt X an. Eine Grenzgerade entsteht. Man nennt diese die Tangente von f an der Stelle x (vergleiche rechte Abbildung). Die Steigung dieser Grenzgeraden entspricht dann dem Differentialquotienten von f an der Stelle x. x f(x) 2 4 6 8 10 –2 4 6 –4 –2 0 X = (x 1 f(x)) Z = (z 1 f(z)) z – x f(z) – f(x) f x f(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –4 –2 0 X f x f(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –4 –2 0 X Tangente von f an der Stelle x f Geometrische Interpretation des Differentialquotienten Der Differentialquotient von f an der Stelle x ist die Steigung der Tangente im Punkt P = (x|f(x)). Man schreibt: k = f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x Umgekehrt versteht man unter der Tangente einer Funktion f an der Stelle x jene Gerade, die durch den Punkt P = (x|f(x)) geht und die Steigung f‘(x)besitzt. Die Steigung dieser Tangente wird oft auch als die Steigung von f an der Stelle x bezeichnet. In der Abbildung sieht man den Graphen von f, sowie die Tangente an der Stelle p. Gib den Differentialquotienten von f an der Stelle p an. a) x p f(x) 2 4 6 –2 2 –4 –2 0 f b) x f(x) 2 4 –4 –2 2 –4 –2 0 f p c) x f(x) 2 –6 –4 2 4 –2 0 f p –2 Berechne den Differentialquotienten von f mit f(x) = x 2 − 3 x + 1an der Stelle 2 und stelle die Funktionsgleichung der Tangente von f an der Stelle 2 auf. Zuerst wird die Steigung der Tangente an der Stelle 2 mit Hilfe des Differentialquotienten berechnet: k = f‘(2) = lim z→2 f(z) − f(2) _ z − 2 = lim z→2 z 2 − 3 z + 1 + 1 _ z − 2 = lim z→2 z 2 − 3 z + 2 _ z − 2 = lim z→2 (z − 1) = 1 (Der Zusammenhang z 2 − 3 z + 2 _ z − 2 = z − 1kann z.B. mittels Polynomdivision erkannt werden.) Um die Tangentengleichung zu bestimmen, muss noch der Funktionswert an der Stelle 2 ermittelt werden. Setzt man dann alle Informationen in t(x) = k x + dein, erhält man d: f(2) = − 1 → − 1 = 1 · 2 + d → d = − 3 → t(x) = x − 3 Ó Technologie Darstellung Tangentenproblem 42xh53 Merke AN-R 1.3 M1 107 Muster 108 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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