Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schülerbuch

35 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Der Differenzenquotient von s in ​[a; b] ​gibt den zurückgelegten Weg des Körpers im Intervall ​[a; b]​ an.  B Der Differentialquotient von s zum Zeitpunkt u gibt die mittlere Änderungsrate von s in [u; u + 1] an.  C Mittels ​ s​(b) ​− s​(a)​ _ b − a ​kann die mittlere Geschwindigkeit des Körpers im Intervall ​[a; b]​ berechnet werden.  D Die momentane Geschwindigkeit von s zum Zeitpunkt h erhält man durch l​im​ t→h ​ ​ _ v ​​(h; t) ​= l​im​ t→h ​ ​ s​(t) ​− s​(h)​ _ t − h ​  E Die absolute Änderung und der Differentialquotient sind immer gleich.  Neben der bekannten Definition für den Differentialquotienten einer Funktion f an der Stelle x wird oft auch eine andere Schreibweise verwendet: f​‘​(x) ​= ​lim​ u→0 ​​ f​(x + u) ​− f​(x)​ _ u .​ a) Schreibe den Differentialquotienten der Zeit-Ort-Funktion s mit s​​(t) ​= 5 ​t​2​zum Zeitpunkt ​ t = 5​in obiger Schreibweise an. b) Wie erhält man aus obiger Formel die Formel f​‘​(x) ​= ​lim​ z→x ​ ​ f​(z) ​− f​(x)​ _ z − x ?​ Berechnen der momentanen Änderungsrate Um die momentane Änderungsrate von s mit s​​(t) ​= 5 ​t​2 ​zum Zeitpunkt t​ = 4 s​zu berechnen, wird ein Trick verwendet, um die Division durch 0 zu vermeiden. ​s‘​(4) ​= v​(4) ​= ​lim​ t→4 ​ ​ _ v ​​(4; t) ​= ​lim​ t→4 ​ ​ s​(t) ​− s​(4)​ _ t − 4 ​= ​lim​ t→4 ​ ​5 ​t ​ 2 ​− 80 _ t − 4 ​ Durch Herausheben und Anwendung der binomischen Formel erhält man: ​s‘​(4) ​= ​lim​ t→4 ​ ​ 5​(t − 4)​(t + 4)​ _ ​t − 4​ ​= ​lim​ t→4 ​ ​(5 t + 20) ​= 40m/s​ Mit Hilfe dieses Tricks konnte der Grenzwert berechnet werden. Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) in Abhängigkeit von t (in Sekunden). Berechne die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t​ = 4​Sekunden. a) ​s​(t) ​= 0,5 ​t​2 ​+ t​ b) ​s​(t) ​= 5 ​t​2 ​+ 15 t​ c) ​s​(t) ​= 0,5 ​t​2 ​+ 1,5 t​ d) ​s​(t) ​= 5 ​t​2 ​+ 10 t​ Bestimme die momentane Änderungsrate einer linearen Funktion f mit f​​(x) ​= k x + d​. Das Volumen einer Kugel ist abhängig von ihrem Radius. Berechne die momentane Änderungsrate des Kugelvolumens für den gegebenen Radius. Verwende zur Berechnung des Differentialquotienten z.B. eine Polynomdivision. a) ​r = 3 cm​ b) ​r = 7cm​ c) ​r = 8 cm​ d) ​r = 9 cm​ e) ​r = u cm​ Berechnen eines Differentialquotienten einer Funktion f an der Stelle u Geogebra: f’(u) f(x) = 3 x2 + 3 f'(2) 12 TI-Nspire: d/d(x)(f(x))| x=u f(x): = 3 x2 + 3 d/d(x)(f(x))| x=2 12 Casio: diff(Term, Variable, Ordnung, Stelle) diff(​3 ​x​2 ​+ 3​,x,1,2) 12 AN-R 1.3 M1 102‌ Ó Arbeitsblatt Differentialquotient – Schreibweise pq7e7z 103‌ Ó Technologie Darstellung Differentialquotient – Darstellungen s5x9xa 104‌ Ó Arbeitsblatt Berechnen des Differentialquotienten 9nt5nx 105‌ 106‌ Technologie Ó Technologie Anleitung Berechnen des Differentialquotienten yx39a9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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