33 2.2 Der Differentialquotient Lernziele: º Den Differentialquotienten definieren und anwenden können º Den Differentialquotienten als momentane Änderungsrate in verschiedenen Kontexten interpretieren können º Den Differentialquotienten geometrisch deuten können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 1.1 A bsolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können AN-R 1.2 D en Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können AN-R 1.3 D en Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können Führe eine Polynomdivision durch oder verwende – wenn möglich – die Regel von Horner. a) x 3 − 8 _ x − 2 b) x 4 − 16 _ x − 2 c) x 3 − 2 x 2 − 19 x + 20 _ x − 5 d) x 3 + 14 x2 + 5 x − 308 _ x + 7 Die momentane Änderungsrate Fährt man mit dem Auto zu schnell, dann kann es vorkommen, dass man einen Strafzettel bekommt. Entweder wird man von einem Polizisten mit der Radarpistole oder von einem fix aufgestellten Radar erwischt. Es könnte z.B. passieren, dass man um 20 km/h zu schnell gefahren ist. Man spricht von der „momentanen“ Geschwindigkeit. Bei Musteraufgabe 80 wurde die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Springers beim Bungee-Jumping berechnet. Für den zurückgelegten Weg des Springers (wenn man den Luftwiderstand nicht berücksichtigt) gilt s(t) = 5 t2 (t in Sekunden, s in Meter). Um die momentane Änderungsrate des Springers zum Zeitpunkt t = 4 szu berechnen, kann der Differenzenquotient als Annäherung verwendet werden. Dabei kann man z.B. mit dem Intervall [4; 5] beginnen und dieses immer kleiner machen: _ v (4; 5) = s(5) − s(4) _ 5 − 4 = 45 m/s _ v (4; 4,1) = s(4,1) − s(4) _ 4,1 − 4 = 40,5 m/s _ v (4; 4,5) = s(4,5) − s(4) _ 4,5 − 4 = 42,5 m/s _ v (4; 4,01) = s(4,01) − s(4) _ 4,01 − 4 = 40,05 m/s _ v (4; 4,2) = s(4,2) − s(4) _ 4,2 − 4 = 41ms _ v (4; 4,000 1) = s(4,000 1) − s(4) _ 4,000 1 − 4 = 40,000 5 m/s Man könnte vermuten, dass 40 m/s die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4 s ist. Je kleiner man das Intervall um 4 wählt, desto mehr nähert sich die mittlere Geschwindigkeit dem Wert 40 m/s an. Um diese Erkenntnis auch formal ausdrücken zu können, werden der Grenzwertbegriff und eine weitere Schreibweise benötigt. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 4 wird mit s‘(4) abgekürzt und als Differentialquotient von s zum Zeitpunkt 4 bezeichnet. Kompetenzen Vorwissen 96 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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