Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schülerbuch

32 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient a) Gib eine Funktion an, deren mittlere Änderungsrate im Intervall ​[3; 5]​ 4 ist. b) Gib eine Funktion an, deren mittlere Änderungsrate in jedem Intervall ​[a; b]​ 4 ist. Gib eine Funktion und ein Intervall ​[a; b] ​mit den gegebenen Eigenschaften an. a) f besitzt in ​[a; b] ​einen positiven Differenzenquotienten und ist nicht streng monoton steigend in ​[a; b].​ b) f besitzt in ​[a; b] ​einen negativen Differenzenquotienten und ist nicht streng monoton fallend in ​[a; b].​ Beweise die Gültigkeit des folgenden Satzes. a) Ist eine Funktion f in einem Intervall ​[a; b] ​streng monoton steigend, dann ist der Differenzenquotient von f in ​[a; b]​positiv. b) Ist eine Funktion f in einem Intervall ​[a, b] ​streng monoton fallend, dann ist die mittlere Änderungsrate von f in ​[a; b]​negativ. Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Ist der Differenzenquotient einer Funktion f in ​[a; b] ​ (1) , dann muss gelten: (2) . (1) (2) positiv  f ist in ​[a; b] ​streng monoton steigend  negativ  f ist eine lineare Funktion  null  ​f​(a) ​= f​(b)​  In der Abbildung sieht man den Graphen einer Funktion f. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. x f(x) 2 4 6 8 1012141618 –6 –4 –2 2 4 6 8 0 f A Der Differenzenquotient von f in ​[− 4; 0]​ist positiv.  B Die mittlere Änderungsrate von f in ​[− 4; 2]​ist 0,5.  C Die Änderung der Funktionswerte im Intervall ​[− 4; 7]​ ist ​− ​1 _ 11.​  D Die Steigung der Sekante von f in ​[− 2; 16]​ist null.  E Der Differenzenquotient von f ist in jedem Intervall von f positiv.  Gib den Differenzenquotienten der Funktion im angegebenen Intervall an. a) ​x → h​(x) ​ [​r; r + s]​ c) ​t → h​(t) ​ ​[s; s + v]​ e) ​x → S​(x) ​ ​[u; v​] b) ​x → V​(x) ​ [​− u; u]​ d) x​ → N​(x) ​ ​[r − 2; r + 2]​ f) ​t → V​(t) ​ ​​[u − 9; u − 8]​ 90‌ 91‌ 92‌ AN-R 1.3 M1 93‌ AN-R 1.3 M1 94‌ Ó Arbeitsblatt Differenzenquotient – geometrische Interpretation k775fx 95‌ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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