30 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient 2 Der Differenzenquotient – die Steigung der Sekante In Lösungswege 6 wurde bereits der Differenzenquotient einer linearen Funktion berechnet. Die Steigung einer linearen Funktion entspricht der Veränderung des Funktionswerts, wenn man das Argument um eins vergrößert. Diese Steigung k ist auch der Differenzenquotient der linearen Funktion in jedem beliebigen Intervall [a; b]. Dies kann auf folgende Art überprüft werden: Sei f mit f(x) = k x + deine lineare Funktion. Für den Differenzenquotienten von f in [a; b] gilt: f(b) − f(a) _ b − a = k b + d − (k a + d) _ b − a = k · (b − a) _ b − a = k Der Differenzenquotient einer linearen Funktion Der Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) einer linearen Funktion f in [a; b] entspricht der Steigung k der linearen Funktion. Bestimme den Differenzenquotienten der Funktion f im Intervall [a; b](a < b). a) f(x) = 12 x − 4 c) f(x) = − 4 x + 1 e) f(x) = r x + t g) f(r) = r x + t b) f(x) = 12 − 4 x d) f(x) = 1 − 45 x f) f(x) = v − z x h) f(t) = r x + t Betrachtet man eine beliebige nichtlineare Funktion, so kann man den Differenzenquotienten im Intervall [a; b] auch als Steigung k einer linearen Funktion interpretieren, die durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)) geht. Diese lineare Funktion s wird Sekante von f in [a; b] genannt. Die Steigung der Sekante k wird auch als mittlere Änderungsrate der Funktion f im Intervall [a; b]bezeichnet. Geometrische Interpretation des Differenzenquotienten einer Funktion f in [a; b] Den Differenzenquotienten oder die mittlere Änderungsrate einer Funktion f kann man als Steigung k der Sekante von f in [a; b]interpretieren. Diese Steigung entspricht dann der mittleren Änderung der Funktionswerte von f, wenn das Argument um 1 erhöht wird. a) Berechne den Differenzenquotienten von f in [1; 10] und interpretiere diesen. b) Stelle die Funktionsgleichung der Sekante von f in [1; 10] auf. a) Es gilt f(1)= 1und f(10) = − 1. f(10) − f(1) _ 10 − 1 = − 1 − 1 _ 9 = − 2 _ 9 Vergrößert man das Argument von f im Intervall [1; 10] um 1, dann wird der Funktionswert im Mittel um 2 _ 9 kleiner (oder die Funktion f fällt in [1; 10] im Mittel um 2 _ 9 ). x f(x) 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 1 2 3 –1 0 1 k 1 k 1 k f Merke 84 b – a x f(x) f s f(a) f(b) a b f(b) – f(a) MerkeÓ Technologie Darstellung Sekantensteigung 8mb66c Muster 85 x f(x) 2 4 6 8 101214 2 4 –2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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