Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schülerbuch

29 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient Der Differenzenquotient – die mittlere Geschwindigkeit Beim Bungee-Jumping gilt für den zurückgelegten Weg des Springers (wenn man den Luftwiderstand nicht berücksichtigt) s​​(t) ​= 5 ​t​2​ (t in Sekunden, s in Meter). a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall ​[0; 3]​. b) Berechne die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall ​[​t ​1​; ​t ​2​]​. a) Die mittlere Geschwindigkeit im Intervall ​[0; 3] ​wird mit ​ _ v ​(0; 3)​ abgekürzt und durch ​ zurückgelegter Weg ​(in Meter)​ _______________ vergangene Zeit ​(in Sekunden)​ ​= ​ s​(3) ​− s​(0)​ _ 3 − 0 ​, also dem Differenzenquotienten, berechnet: ​ _ v ​(0; 3) ​= ​45 − 0 _ 3 − 0 ​= 15m/s​. b) ​ _ v ​(​t ​1​; ​t ​2​) ​= ​ s​(​t ​2​) ​− s​(​t ​1​)​ _ ​t ​2 ​− ​t ​1​ ​= ​ 5 ​t ​2 ​ 2 − 5 ​t ​ 1 ​ 2 _ ​t ​2 ​− ​t ​1​ ​ = ​ 5 · ​(​t ​2 ​− ​t ​1​) ​· ​(​t ​2 ​+ ​t ​1​)​ ___________ ​t ​2 ​− ​t ​1​ ​= 5 · ​(​t ​2 ​+ ​t ​1​) ​m / s​ Der Differenzenquotient – die mittlere Geschwindigkeit Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s in Abhängigkeit von t, dann wird der Differenzenquotient im Intervall ​[​t ​1​; ​t ​2​] ​zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit verwendet: mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall ​[​t ​1​; ​t ​2​] ​: ​ _ v ​(​t ​1​; ​t ​2​) ​= ​ s​(​t ​2​) ​− s​(​t ​1​)​ _ ​t ​2 ​− ​t ​1​ ​ Wird ein Ball mit einer Abschussgeschwindigkeit von 45 m/s vom Boden lotrecht nach oben geschossen, so ist seine Höhe h (in m) nach t Sekunden ungefähr gegeben durch ​h​(t) ​= 45 t − 5 ​t ​2​. a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Balls in den Intervallen ​[0; 2] ​bzw. ​[2; 4]​. b) Berechne den Differenzenquotienten von h in den Intervallen ​[4; 5] ​bzw. ​[4; 8] ​und interpretiere die Ergebnisse im vorliegenden Kontext. Ein Stein wird vom Rand einer Klippe lotrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat er die Höhe (gemessen zur Meeresoberfläche) h​ ​(t) ​= 85 + 35 t − 5 ​t ​2 ​erreicht (h in m, t in Sekunden). a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Steins in den Intervallen ​[0; 2] ​bzw. ​[1; 3]​. b) Berechne den Differenzenquotienten von h im Intervall ​[4; 5] ​bzw. ​[4; 8] ​und interpretiere die Ergebnisse im vorliegenden Kontext. In der vorliegenden Tabelle sieht man die Abfahrts- und Ankunftszeiten eines Zuges. Die Entfernung zwischen den Stationen A und B beträgt u km, zwischen B und C v km. Berechne die mittleren Geschwindigkeiten für die einzelnen Streckenabschnitte. a) Bahnhof Ankunft Abfahrt A 14:32 ​u = 65​ B 15:05 15:15 ​v = 88​ C 16:02 b) Bahnhof Ankunft Abfahrt A 11:35 ​u = 114​ B 13:08 13:15 ​v = 152​ C 16:14 Die Funktion s mit s​​(t) ​= 0,6 ​t​2 ​+ 2 t​(s in m, t in Sekunden) beschreibt den zurückgelegten Weg eines Radfahrers in den ersten 15 Sekunden. Berechne den Differenzenquotienten der Funktion s im Intervall ​[0; 7] ​und interpretiere dieses Ergebnis im gegebenen Kontext. Muster 79‌ Ó Technologie Darstellung Berechnung des Differenzenquotienten c7i9ei Merke 80‌ 81‌ Ó Arbeitsblatt mittlere Geschwindigkeit w4g4kt 82‌ AN-R 1.3 M1 83‌ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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