8) Asymptoten: a1: x = − 1 a 2: y = 1 666. a) nicht stetig an der Stelle 1 b) stetig auf ganz ℝ 667. stetig an der Stelle x 1, an den Stellen x2, x 3, x 4 unstetig 668. Eine Funktion f:D → ℝ heißt an einer Stelle p (p ∈ D) differenzierbar, wenn f‘(p) = lim x→p f(x) − f(p) _ x − p existiert. Eine Funktion heißt differenzierbare Funktion, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. 669. f ist an der Stelle − 4nicht differenzierbar, da der Graph von f an dieser Stelle einen Knick besitzt und der Differentialquotient an dieser Stelle nicht existiert. 8 Anwendung der Differentialrechnung Teil-1-Aufgaben 722. C, E 723. durchschnittliche Änderung der Geschwindigkeit im Intervall t = [0; 10] 724. B, D 725. K ‘(65) = 0,5 l / 100 km _ km / h 726. Der maximale Gewinn wird bei 9,38 ME erzielt. Selbstkontrolle 729. K‘(x)= 0,06 x2 + 25 x Die Grenzkostenfunktion gibt näherungsweise den Kostenzuwachs für eine zusätzlich produzierte Mengeneinheit an. 730. Betriebsoptimum: 2,79 ME Das Betriebsoptimum gibt die Produktionsmenge an, bei der die Stückkosten minimal sind. 731. Die Gewinnfunktion ist die Differenz zwischen der Erlös- und der Kostenfunktion: G (x) = E(x) − K(x) Der Break-Even-Point gibt die Menge an, ab der der Betrieb Gewinn macht. Die Gewinngrenze ist die Menge, ab der der Betrieb wieder Verluste macht. 732. Sättigungsmenge: 80 ME Mengeneinheiten, bei denen der Erlös maximal wird: 40 ME 733. a) Die momentane Änderung der Beleuchtungsstärke in 50 cm Wassertiefe ist negativ. Die Beleuchtungsstärke nimmt in 50 cm Wassertiefe ab. Die momentane Änderungsgeschwindigkeit der Beleuchtungsstärke ist negativ. b) Die Änderungsgeschwindigkeit der Beleuchtungsstärke nimmt in 50 cm Tiefe um 2 l x/cm pro cm zu. 734. a) W ‘(t) < 0: Wasserstand ist zum Zeitpunkt t fallend W‘(t) > 0: Wasserstand ist zum Zeitpunkt t steigend b) t ≈ 9 h c) t ≈ 3,67h = 3h 40min 735. r = 5 9 _ 6 _ 3 ≈ 4,08 cm; h = 10 9 _ 6 _ 3 ≈ 8,16 cm Da r aber maximal 3,5 cm sein darf, gilt für die Maße: r = 3,5 cm; h = 10,79 cm(Randextremum) 736. x = − 4,634 Reflexion: Mathematik und Naturwissenschaften 737. Diese Lösungen sind nur Lösungsvorschläge. Es sind auch andere richtige Antworten möglich, sofern sie nachvollziehbar begründet sind. a) 5. Kästchen Galileo Galilei behauptet, dass die Mathematik zur Beschreibung der Natur passt, weil die Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben ist. b) 3. Kästchen Weil Popper hier davon spricht, dass naturwissenschaftliche Erkenntnisse ständig in Gefahr sind, widerlegt zu werden. c) 1. Kästchen Einstand sagt etwas darüber aus, womit sich die Mathematik beschäftigt. d) 2. Kästchen Hier wird etwas über die Arbeitsweise der Mathematik ausgesagt. e) 3. Kästchen Es wird etwas über die Sicherheit der mathematischen Erkenntnisse ausgesagt. f) 5. Kästchen Weil hier behauptet wird, dass die Grundlage der Naturerforschung die Mathematik ist. x f(x) f 2 4 6 8 101214 –12 –8 –4 2 4 6 8 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 282 Anhang Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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