320. Eine lokale Extremstelle von f wird zu einer Nullstelle von f‘. Ist f in [a; b] streng monoton steigend, dann sind die Funktionswerte von f‘in (a; b) positiv. Ist f in [a; b] streng monoton fallend, dann sind die Funktionswerte von f‘in (a; b)negativ. 321. i) ist der richtige Graph. mögliche Begründungen: f besitzt an der Stelle 4 eine Extremstelle, daher muss f‘an dieser Stelle eine Nullstelle besitzen. f besitzt an der Stelle 1 eine Sattelstelle, daher muss f‘an dieser Stelle eine Null- und Extremstelle besitzen. f ist in (− ∞; 4] streng monoton fallend, daher darf f‘in (− ∞; 4) keine positiven Funktionswerte besitzen. 322. a) lokaler Extrempunkt: (1|− 6,75) Sattelpunkt: (4|0 ) b) streng monoton fallend in (− ∞; 1] streng monoton steigend in [1; ∞) c) Wendepunkte: (2|− 4), (4|0 ) linksgekrümmt in (− ∞; 2], [4; ∞) rechtsgekrümmt in [2; 4] 323. A, E 324. 325. f(x) = 1 _ 3 x 3+ 4 x2 + 12 x 326. r = h = 3 9 _ V _ π 4 Kreis und Kugel Selbstkontrolle 424. 1C; 2B; 3E; 4D 425. k: gegeben in Koordinatenform; k: x 2 + y 2 + 6 x − 2 y = 2 m: gegeben in allgemeiner Form; m: (x + 3) 2 + (y − 1) 2 = 12 426. P ∈ k; Q ∉ k(innerhalb); R ∉ k(außerhalb) 427. (x + 3) 2 + (y − 1) 2 = 8 428. g 1: Tangente; g2: Sekante 429. − x + 2 y = 18 430. 90° 431. a) b) k 1: (x + 5) 2 + (y − 7) 2= 2; k 2: (x + 3) 2 + (y − 5) 2 = 2 432. S 1 = (5,32|− 4,68); S 2 = (0,95|− 6,14); α = 40,2° 433. Zum Beispiel: 434. (x − 2) 2 + (y + 4) 2 + z 2 = 64 435. 1C; 2B; 3A 436. P liegt innerhalb 437. X 1 = (− 6,10|0|0 ); X 2 = (4,10|0|0 ); Y 1 = (0|− 3,72|0 ); Y 2 = (0|6 ,72|0 ); Z 1 = (0|0|− 5); Z 2 = (0|0|5 ) 438. z = − 7 und z = 7 5 Kegelschnitte Selbstkontrolle 547. A, B, C, D 548. ell 1: 4 x 2+ 25 y2= 100; ell 2: x 2+ 100 y2 = 100 549. A, D, E 550. hyp: 9 x2 − 16 y 2 = 144 551. p ar 1: y 2 = − 1 _ 9 x; p ar2: y 2 = x x f(x), f’(x) f’ 1 2 3 4 5 6 7 8 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 0 f x y 2 4 6 –12 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 –10 –8 –6 –4 –2 0 12 α = 60° 280 Anhang Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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