277 Beweise | Anhang Der erste Summand ist nu®® und kann wegge®assen werden. = ; k = 1 n n! ___ (n – k)! · (k – 1) ! · p k · (1 – p)n – k = D er Faktor k und das k in k! werden gekürzt, da k! = 1 · 2 · 3 · … · (k – 1) · k gi®t. = ; k = 1 n n! ___ (n – k)! · (k – 1)! · p · p k – 1 · (1 – p)n – k = Nach der Rechenrege® für Potenzen gi®t pk = p · pk – 1. = ; k = 1 n (n – 1)! · n ___ (n – k)! · (k – 1)! · p · p k – 1 · (1 – p)n – k = Es gi®t n! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n = (n – 1)! · n = n · p · ; k = 1 n (n – 1)! ___ (n – k)! · (k – 1)! · p k – 1 · (1 – p)n – k = Das Produkt n · p kann aus der Summe herausgehoben werden. = n · p · ; k = 1 n 2 n – 1 k – 1 3 · p k – 1 · (1 – p)n – k = Es gi®t (n – 1)! ___ (n – k)! · (k – 1)! = 2 n – 1 k – 1 3 = n · p · ((1 – p) + p)n – 1 = Es gi®t: (a + b)n = ; k = 0 n 2 n k 3 a n – k bk = 2 n 0 3 a n b0 + 2 n 1 3 a n – 1 b + … + 2 n n 3 a 0 bn (binomischer Lehrsatz) D amit ®ässt sich die obige Summe a®s Potenz eines Binoms darste®®en und vereinfachen: ; k = 1 n 2 n – 1 k – 1 3 · p k – 1 · (1 – p)n – k = = 2 n – 1 0 3 p0 (1 – p)n – 1 + 2 n – 1 1 3 p1 (1 – p)n – 2 + … + 2 n – 1 n – 1 3 pn – 1 (1 – p)0 = = ((1 – p) + p)n – 1 = n·p ·1 n – 1 = n · p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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