276 Beweise Anhang Diskrete Zufa®®svariab®en Verschiebungssatz Ist X eine diskrete Zufa®®svariab®e, f(xi ) = P(X = xi ) mit i = 1, 2, 3, 4, …, n die zugehörige Wahrschein®ichkeitsfunktion sowie μ der Erwartungswert von X, gi®t für die Varianz V(X) = σ2: V(x) = (x1 – μ) 2 · f(x 1) + (x2 – μ) 2 · f(x 2) + (x3 – μ) 2 · f(x 3) + … + (xn – μ) 2 · f(x n) = = x1 2 · f(x 1) + x2 2 · f(x 2) + x3 2 · f(x 3) + … + xn 2 · f(x n) – μ2 Zur Vereinfachung der Schreibweise verwendet man das Summenzeichen ; : V(x) = (x1 – μ) 2 · f(x 1) + (x2 – μ) 2 · f(x 2) + (x3 – μ) 2 · f(x 3) + … + (xn – μ) 2 · f(x n) = = ; i = 1 n (xi – μ) 2 · f(x i) = = ; i = 1 n (xi 2 – 2 x i μ + μ 2) · f(x i) = binomische Forme® = ; i = 1 n xi 2 · f(x i) – ; i = 1 n 2 xi μ · f(xi) + ; i = 1 n μ2 · f(x i) = Vertei®ungsgesetz der Mu®tip®ikation = ; i = 1 n xi 2 · f(x i) – 2 μ ; i = 1 n xi · f(xi) + μ 2 ; i = 1 n f(xi) = konstante Faktoren herausheben = ; i = 1 n xi 2 · f(x i) – 2 μ · μ + μ 2 = ; i = 1 n xi · f(xi) = μ ; i = 1 n f(xi) = 1 = ; i = 1 n xi 2 · f(x i) – μ 2 = = x1 2 · f(x 1) + x2 2 · f(x 2) + x3 2 · f(x 3) + … + xn 2 · f(x n) – μ2 Binomia®vertei®ung und weitere Vertei®ungen Erwartungswert Ist X eine binomia®vertei®te Zufa®®svariab®e mit den Parametern n und p, so gi®t für den Erwartungswert: E(X) = μ = n · p A®®gemein gi®t für den Erwartungswert: μ = E(X) = ; i = 0 n xi · P(X = xi) Bei der Binomia®vertei®ung gi®t: μ = E(X) = ; k = 0 n k · 2 n k 3 · p k · (1 – p)n – k = = ; k = 0 n k · n! __ (n – k)! · k! · p k · (1 – p)n – k = Binomia®koeffizient wird ausführ®ich aufgeschrieben. = ; k = 1 n k · n! __ (n – k)! · k! · p k · (1 – p)n – k = 9 S. 212 Satz BEWEIS 10 S. 233 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=