275 Beweise | Anhang Ab®eitungsrege® für die natür®iche Exponentia®funktion f(x) = ex w f’(x) = ex f’(x) = ®im z ¥ x e z – ex _ z – x setzt man h = z – x erhä®t man: f’(x) = ®im h ¥ 0 e x + h – ex __ h = ®im h ¥ 0 ex · (eh – 1) __ h = e x · ®im h ¥ 0 e h – 1 _ h Ersetzt man nun h durch 1 _ n und ®ässt n gegen unend®ich gehen, so erhä®t man fo®genden Ausdruck: f’(x) = ex · ®im n ¥ • e 1 _ n – 1 _ 1 _ n Nun kann man für die Zah® e ihre Definition einsetzen: e = ®im n ¥ • 2 1 + 1 _ n 3 n f’(x) = ex · ®im n ¥ • 2 2 1 + 1 _ n 3 n 3 1 _ n – 1 __ 1 _ n = ex · ®im n ¥ • 1 + 1 _ n – 1 __ 1 _ n = ex Ab®eitungsrege®n für Exponentia®funktionen f(x) = ax w f’(x) = ax · ®n(a) Für den Beweis dieser Rege® kann fo®gender Zusammenhang verwendet werden: a x = (e®n(a))x Durch Anwendung der Kettenrege® erhä®t man die Behauptung: f(x) = ax = (e ®n (a))x = ex · ®n (a) f(x)’ = ex · ®n(a) · ®n(a) = ax · ®n(a) Ab®eitungsrege®n für natür®iche Logarithmusfunktionen f(x) = ®n(x) w f’(x) = 1 _ x y = ®n(x) kann umgeschrieben werden zu e y = x Mit Hi®fe des imp®iziten Differenzierens und der Ab®eitungsrege® für die natür®iche Exponentia®funktion erhä®t man die Behauptung: (ey)’ = (x)’ y ’ · ey = 1 | : ey y ’ = 1 _ ey w y’ = f’(x) = 1 _ x Ab®eitungsrege®n für Logarithmusfunktionen f(x) = ®ogax w f’(x) = 1 _ x · ®n(a) Aus Lösungswege 6 ist bereits bekannt: ®ogax = ®n(x) _ ®n(a) w f(x) = ®n(x) _ ®n(a) Verwendet man nun die Ab®eitungsrege® für den natür®ichen Logarithmus erhä®t man die Behauptung: f’(x) = 1 _ ®n(a) · 1 _ x = 1 _ x · ®n(a) S. 164 Satz BEWEIS S. 164 Satz BEWEIS S. 164 Satz BEWEIS S. 164 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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