274 Beweise Anhang Ab®eitungsrege® für die Sinusfunktion f(x) = sin(x) w f’(x) = cos(x) f’(x) = ®im z ¥ x sin(z) – sin(x) __ z – x setzt man h = z – x erhä®t man: f’(x) = ®im h ¥ 0 sin(x + h) – sin(x) ___ h Nun wird das Additionstheorem angewendet: sin(a + b) = sin(a) · cos(b) + cos(a) · sin(b) f’(x) = ®im h ¥ 0 sin(x) · cos(h) + cos(x) · sin(h) – sin(x) _____ h Durch Herausheben und Auftei®ung auf zwei Brüche erhä®t man: f’(x) = sin(x) · ®im h ¥ 0 cos(h) – 1 __ h + cos(x) · ®im h ¥ 0 sin (h) _ h Es gi®t (ohne Beweis): ®im h ¥ 0 cos(h) – 1 __ h = 0 bzw. ®im h ¥ 0 sin (h) _ h = 1 (Mit Hi®fe einer Wertetabe®®e und Techno®ogieeinsatz kann man vermuten, dass diese Behauptung stimmt.) Verwendet man nun diese beiden Erkenntnisse, so erhä®t man die Behauptung: f’(x) = sin(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x) Ab®eitungsrege® für die Kosinusfunktion f(x) = cos(x) w f ’(x) = ‒ sin(x) Für diesen Beweis kann man den aus Lösungswege 6 bereits bekannten Zusammenhang verwenden: cos(x) = sin2 x + π _ 2 3 w f(x) = cos(x) = sin2 x + π _ 2 3 Durch Anwendung der Kettenrege® und der Ab®eitungsrege® für die Sinusfunktion erhä®t man: f’(x) = cos2 x + π _ 2 3 Verwendet man nun die Beziehung cos2 x + π _ 2 3 = ‒ sin(x) (diese Über®egung ist anhand des Einheitskreises ersicht®ich oder mit Hi®fe der Additionsrege® nachrechenbar) erhä®t man die Behauptung: f ’(x) = ‒ sin(x) S. 162 Satz BEWEIS S. 162 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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