273 Beweise | Anhang Tangenteng®eichung im Punkt T = (x T 1 yT) an eine Hyperbe® Durch „Aufspa®ten“ von x2 und y2 in der Hyperbe®g®eichung h: b 2 x2 – a2 y2 = a2 b2 ergibt sich die Spa®tform der Hyperbe®tangente t: t: b2 x T x – a 2 y T y = a 2 b2. Die Hyperbe®g®eichung ®autet: hyp: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2. Imp®iziertes Differenzieren (Kap 7.1) ®iefert: 2 b2 x – 2a2 y y’ = 0 w y’ = b 2 x _ a2 y Für die Steigung k der Tangente an die Hyperbe® hyp im Punkt T = (xT 1 yT) gi®t daher: k = y’ w y – yT _ x – x T = b 2 x _ a2 y w (y – yT) (a 2 y) = b2 x (x – x T) a2 y2 – a2 y y T = b 2 x2 – b2 x x T w b 2 x x T – a 2 y y T = b 2 x2 – a2 y2 = a2 b2 b2 x x T – a 2 y y T = a 2 b2 (Spa®tform der Tangenteng®eichung) Tangenteng®eichung im Punkt T = (x T 1 yT) an eine Parabe® Durch „Aufspa®ten“ von 2 x in x + x und y2 in y · y in der Parabe®g®eichung p: y2 = 2 p x ergibt sich die Spa®tform der Parabe®tangente t: t: yT y = p · (xT + x). Die Parabe®g®eichung ®autet: par: y2 = 2 p x. Imp®iziertes Differenzieren (Kap 7.1) ®iefert: 2 y y’ = 2 p w y’ = 2 p _ 2 y Für die Steigung k der Tangente an die Parabe® par im Punkt T = (xT 1 yT) gi®t daher: k = y’ w y – yT _ x – x T = 2 p _ 2 y w (y – yT) 2 y = 2 p (x – xT) 2 y2– 2yy T = 2 p x – 2 p x T w 2·2px – 2yyT = 2 p x – 2 p x T w – 2 y yT = ‒2px – 2pxT w yT y = (xT + x) p Erweiterung der Differentia®rechnung Die Konstantenrege® f(x) = g(k · x), k * R w f ’(x) = k · g’(k · x) Durch Anwendung des Differentia®quotienten und anschließendes Umformen erhä®t man die Behauptung: f’(x) = ®im z ¥ x g(k · z) – g(k · x) ___ z – x = ®im z ¥ x g(k · z) – g(k · x) ___ z – x · k _ k = k · ®im z ¥ x g(k · z) – g(k · x) ___ k · z – k · x = k · g’(k · x) S. 137 Satz BEWEIS S. 138 Satz BEWEIS 7 S. 159 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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