272 Beweise Anhang a2 e2 – a4 = ‒ a 2 x2 + x2 e2 – a2 y2 a2 (e2 – a2) = x2 (e2 – a2) – a2 y2 a2 b2 = x2 b2 – a2 y2 b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 Da Quadrieren keine Äquiva®enzumformung ist, müsste auch gezeigt werden, dass umgekehrt aus der Hyperbe®g®eichung die Brennpunktsdefinition fo®gt. Auf diesen Tei® des Beweises wird hier verzichtet. G®eichung der Parabe® par in 1. Haupt®age Ein Punkt P = (x 1 y) ®iegt auf der Parabe® par, wenn seine Koordinaten die fo®gende G®eichung erfü®®en: par: y2 = 2 p x mit p > 0. S = (0 1 0): Scheite® der Parabe® F = 2 p _ 2 1 0 3: Brennpunkt der Parabe® Für jeden Punkt auf einer Parabe® in 1. HL gi®t: _ FX = _ X®, wobei ® die Leitgerade mit ®: x = ‒ p _ 2 ist. _ À FX = 2 x – p _ 2 y 3 und _ X® = p _ 2 + x daraus fo®gt: 9 ______ 2 x – p _ 2 3 2 + y2 =x+ p _ 2 Da der Wert unter der Wurze® positiv ist, kann man die G®eichung quadrieren. 2 x – p _ 2 3 2 + y2 = 2 x + p _ 2 3 2 x2 – p x + p2 _ 4 + y 2 = x2 + p x + p2 _ 4 y2 = 2 p x Tangenteng®eichung im Punkt T = (x T 1 yT) an eine E®®ipse Durch „Aufspa®ten“ von x2 und y2 in der E®®ipseng®eichung e: b 2 x2 + a2 y2 = a2 b2 ergibt sich die Spa®tform der E®®ipsentangente: t: b2 x T x + a 2 y T y = a 2 b2 Die E®®ipseng®eichung ®autet: e®®: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2. Imp®iziertes Differenzieren (Kap 7.1) ®iefert: 2 b2 x + 2a2 y y’ = 0 w y’ = ‒ b 2 x _ a2 y Für die Steigung k der Tangente an die E®®ipse e®® im Punkt T = (xT 1 yT) gi®t daher: k = y’ w y – yT _ x – x T = ‒ b 2 x _ a2 y w (y – yT) (a 2 y) = ‒ b2 x (x – x T) a2 y2 – a2 y y T = ‒ b 2 x2 + b2 x x T w b 2 x x T + a 2 y y T = a 2 y2 + b2 x2 = a2 b2 b2 x x T + a 2 y y T = a 2 b2 (Spa®tform der Tangenteng®eichung) S. 130 Satz BEWEIS S. 136 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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