271 Beweise | Anhang Kege®schnitte G®eichung der E®®ipse in 1. Haupt®age Ein Punkt P = (x 1 y) ®iegt auf der E®®ipse e®®, wenn seine Koordinaten die fo®gende G®eichung erfü®®en: e®®: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 oder x 2 _ a2 + y2 _ b2 = 1 a: Länge der großen Ha®bachse b: Länge der k®einen Ha®bachse _ F1P + _ F2P= 2 a (Brennpunkte F1 = (e 1 0) und F2 = (‒ e 1 0)) 9 _________ (x – e)2 + (y – 0)2 + 9 _________ (x + e)2 + (y – 0)2 = 2 a 9 ______ (x – e)2 + y2 =2a–9 _______ (x + e)2 + y2 x2 – 2 x e + e2 + y2 = 4 a2 – 2 · 2 a · 9 __________ x2 + 2 x e + e2 + y2 + x2 + 2 x e + e2 + y2 4 a 9 __________ x2 + 2 x e + e2 + y2 = 4a2 + 4 x e a 9 __________ x2 + 2 x e + e2 + y2 = a2 + x e a2 · (x2 + 2 x e + e2 + y2) = a4 + 2 a2 x e + x2 e2 a2 x2 + 2 a2 x e + a2 e2 + a2 y2 = a4 + 2 a2 x e + x2 e2 a2 x2 – x2 e2 + a2 y2 = a4 – a2 e2 x2 (a2 – e2) + a2 y2 = a2 (a2 – e2) (es gi®t: b2 = a2 – e2) b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 Da Quadrieren keine Äquiva®enzumformung ist, müsste auch gezeigt werden, dass umgekehrt aus der E®®ipseng®eichung die Brennpunktsdefinition fo®gt. Auf diesen Tei® des Beweises wird hier verzichtet. G®eichung der Hyperbe® Ein Punkt P = (x 1 y) ®iegt auf der Hyperbe® hyp mit den Brennpunkten F1 = (e 1 0) und F2 = (‒ e 1 0), wenn seine Koordinaten die fo®gende G®eichung erfü®®en: hyp: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 oder x 2 _ a2 – y2 _ b2 = 1. a: Länge der großen Ha®bachse b: Länge der k®einen Ha®bachse Der Beweis wird für den rechten Hyperbe®ast gezeigt. A®so gi®t _ F1P > _ F2P _ F1P – _ F2P = 2 a 9 _________ (x + e)2 + (y – 0)2 – 9 _________ (x – e)2 + (y – 0)2 = 2 a 9 _______ (x + e)2 + y2 =2a+9 ______ (x – e)2 + y2 x2 + 2 x e + e2 + y2 = 4 a2 + 2 · 2 a · 9 _________ x2 – 2 x e + e2 + y2 + x2 – 2 x e + e2 + y2 ‒ 4 a9 _________ x2 – 2 x e + e2 + y2 = 4a2 – 4 x e ‒ a 9 _________ x2 – 2 x e + e2 + y2 = a2 – x e a2 · (x2 – 2 x e + e2 + y2) = a4 – 2 a2 x e + x2 e2 a2 x2 – 2 a2 x e + a2 e2 + a2 y2 = a4 – 2 a2 x e + x2 e2 5 S. 121 Satz BEWEIS S. 126 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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