270 Beweise Anhang Beweise Grund®agen der Differentia®rechnung Rege® der mu®tip®ikativen Konstanten (k · f(x))’ = k · f’(x) Durch Anwendung des Differentia®quotienten und anschließendes Umformen erhä®t man die Behauptung: (k · f(x))’ = ®im z ¥ x k · f(z) – k · f(x) __ z – x = ®im z ¥ x k · (f(z) – f(x)) __ z – x = k · ®im z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = k·f’(x) Summen- bzw. Differenzenrege® (h(x) + g(x))’ = h’(x) + g’(x) Durch Anwendung des Differentia®quotienten und anschließendes Umformen erhä®t man die Behauptung: (h(x) + g(x))’ = ®im z ¥ x (h(z) + g(z)) – (h(x) + g(x)) ____ z – x = ®im z ¥ x (h(z) – h(x)) + (g(z) – g(x)) ____ z – x = = ®im z ¥ x h(z) – h(x) __ z – x + ®im z ¥ x g(z) – g(x) __ z – x = h’(x) + g’(x) Kreis und Kuge® Spa®tform der Tangenteng®eichung Ein Kreis mit dem Mitte®punkt M = (xM 1 yM) und Radius r besitzt im Punkt T = (xT 1 yT) die Tangente t mit der G®eichung: t: (xT – xM) · (x – xM) + (yT – yM) · (y – yM) = r 2 Für a®®e Punkte X = (x 1 y) auf der Tangente t gi®t: _ À MT · _ À TX = 0 Durch Umformung dieser G®eichung erhä®t man: (T – M) · (X – T) = 0 | + r2 (T – M) · (X – T) + r2 = 0 + r2 Für r2 gi®t: r2 = | _ À MT |2 = (T – M) · (T – M) Daraus fo®gt: (T – M) · (X – T) + (T – M) · (T – M) = r2 (T – M) · (X – T + T – M) = r2 (T – M) · (X – M) = r2 (xT – xM) · (x – xM) + (yT – yM) · (y – yM) = r 2 Die Spa®tform der Tangenteng®eichung an einen Kreis 2 S. 40 Satz BEWEIS S. 40 Satz BEWEIS 4 S. 106 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=