AG-R 2.3 AG-R 2.3 AG-R 2.3 AG-R 2.3 268 11 Weg zur Matura Komplexe Zahlen > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Quadratische Gleichungen a) Die Koeffizienten p und q der normierten quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0können auch imaginäre bzw. komplexe Zahlen sein. Gegeben ist die quadratische Gleichung x 2 + i · x − 2,5 = 0. 1) Bestimme unter Verwendung einer Lösungsformel für quadratische Gleichungen die Lösungen der Gleichung und stelle sie in der Form a + bidar. b) Gegeben ist die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0mit p,q ∈ ℝ. 1) Bestimme die Werte für p und q so, dass die quadratische Gleichung die Lösungen 2 − 5 iund 2 + 5 ibesitzt. c) Gegeben ist die quadratische Gleichung 2 x2 + 4x + c = 0(c ∈ ℝ). 1) Gib alle Werte von c an, für die die Gleichung zwei konjugiert komplexe Lösungen besitzt. d) Gegeben ist die quadratische Gleichung a · x2 + b = 0 (a, b ∈ ℝ). 1) Welchen Eigenschaften müssen die Werte für a und b haben, damit die Gleichung keine reellen Lösungen besitzt? Gib alle Möglichkeiten für a und b an und begründe deine Entscheidung. Komplexe Zahlen a) Komplexe Zahlen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene graphisch veranschaulichen. 1) Zeichne ein Koordinatensystem und bezeichne die waagrechte Achse als Realachse und die senkrechte Achse als Imaginärachse. Zeichne darin die beiden komplexen Zahlen z 1 und z 2 ein, die den Realteil –2 und den Betrag 3 haben. 2) Berechne für die beiden komplexen Zahlen z 1 und z2 die Maße der Winkel zwischen der positiven Realachse und den Pfeildarstellungen der Zahlen. b) 1) Gegeben ist die komplexe Zahl z = a + b · imit a > 0und b < 0. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Für den Betrag von z gilt r = |z| = 9 _a 2 + b 2 . B Das Maß des Arguments ist zwischen 90° und 180°. C Der Punkt P = (a|b) liegt im ersten Quadranten. D Der Punkt P = (a|b) liegt im zweiten Quadranten. E Das Argument der komplexen Zahl ist zwischen 3 π _ 2 radund 2 π rad. 2) Zu jeder komplexen Zahl z = a + b · imit a, b ∈ ℝ gibt es die konjugiert komplexe Zahl _ z = a − b · i. Zeige allgemein, dass das Produkt z · _ zeine reelle Zahl ist. M2 976 K M2 977 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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