266 Komplexe Zahlen > Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung 11 z 1 = 3 9 _ z = z 1 _ 3 = 27 1 _ 3 · (cos( 1 _ 3 · 135°) + i · sin( 1 _ 3 · 135°)) = 3 · (cos(45°) + i · sin(45°)) z 2 = 3 9 _ z = z 1 _ 3 = [27 · (cos(135° + 360°·1) + i · sin(135° + 360°·1))] 1 _ 3 = 3 · (cos(165°) + i · sin(165°)) z 3 = 3 9 _ z = z 1 _ 3 = [27 · (cos(135° + 360°·2) + i · sin(135° + 360°·2))] 1 _ 3 = 3 · (cos(285°) + i · sin(285°)) Setzt man dieses Verfahren noch einmal fort, erhält man als Argument 405°. Da sin(405°) = sin(45°)bzw. cos(405°) = cos(45°) ist, gibt es keine weiteren dritten Wurzeln. n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl Man erhält alle n-ten Wurzeln (n ∈ ℕ \ {0}) aus der komplexen Zahl z = (r; φ) durch: z k+1 = ( n 9 _ r ; φ _ n + k · 360° _ n ) = n 9 _ r · (cos( φ _ n + k · 360° _ n ) + i · sin( φ _ n + k · 360° _ n )) 0 ≤ k ≤ (n − 1) Berechne in der Menge ℂ alle Wurzeln von z und gib das Ergebnis in Polarkoordinaten und kartesischer Darstellung an a) 4 9 _ 16 b) 3 9 _ 81 c) 3 9 _ − 1 − i d) 5 9 _ i e) 9 _21 − 28 i f) 5 9 _ (1; 150°) g) 9 _ 1 Löse die Gleichung. Gib die Lösungen in kartesischer Darstellung an. a) z 3 = 64 i b) z 4 = − 16 c) z 5 = 243 d) z 3 = 3 + 5 i e) z 4 = − 1 − i f) z 5 = − 1 Zusammenfassung Imaginäre Einheit Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, für die gilt: i 2 = − 1 Komplexe Zahlen Mathematische Ausdrücke der Form a + b · imit a, b ∈ ℝ heißen komplexe Zahlen. a … Realteil b … Imaginärteil ℂ … Menge der komplexen Zahlen Konjugiert komplexe Zahl Ist z = a + b · ieine komplexe Zahl, ist _ z = a − b · idie zu z konjugiert komplexe Zahl. (Sprich: „z quer“) Polardarstellung/Polarkoordinaten Für z = a + b · i(z ≠ 0) gilt: r = |z| = 9 _a 2 + b 2 tan(φ) = b _ a (a ≠ 0) z = r · (cos(φ) + i · sin(φ)) = (r; φ) Rechnen in Polardarstellung Sind z 1 = r 1 · (cos(φ 1) + i · sin(φ 1))und z2 = r 2 · (cos(φ 2) + i · sin(φ 2)) zwei komplexe Zahlen, gilt: z1 · z 2 = r 1 · r 2 · (cos(φ 1 + φ 2) + i · sin(φ 1 + φ 2)) z 1 _ z 2 = r 1 _ r 2 · (cos(φ 1 − φ 2) + i · sin(φ 1 − φ 2)) z n = (r; φ) n = (r n; n · φ) = r n · (cos(n · φ) + i · sin(n · φ)), n ∈ ℕ \ {0} (Formel von Moivre) n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl Man erhält alle n-ten Wurzeln (n ∈ ℕ \ {0}) aus der komplexen Zahl z = (r; φ) durch: z k + 1 = ( n 9 _ r ; φ _ n + k · 360° _ n ) = n 9 _ r · (cos( φ _ n + k · 360° _ n ) + i · sin( φ _ n + k · 360° _ n )) 0 ≤ k ≤ (n − 1) Fundamentalsatz der Algebra Jede algebraische Gleichung vom Grad n (n ≥ 1) hat in der Menge ℂ der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung, d.h. ist in der Menge ℂ immer lösbar. Merke 969 970 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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