264 Komplexe Zahlen > Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung 11 Dividiere z1 durch z2 und gib den Quotienten in kartesischer Darstellung an. a) z 1 = (4; 120°); z 2 = (5; 50°) c) z 1 = 8 · (cos(80°) + i · sin(80°)); z 2 = 16 · (cos(20°) + i · sin(20°)) b) z 1 = (3; π rad); z 2 = (4; π _ 2 rad) Dividiere z1 und z2 in Polardarstellung und gib den Quotienten wieder in kartesischer Darstellung an. a) z 1 = − 2 + 2i; z2 = 1 + i c) z 1 = − 3 − 3 i; z2 = − 1 + i e) z 1 = 1 + 2i; z2 = 4 + 3 i b) z 1 = − i; z 2 = 5 i d) z 1 = 1 − i; z 2 = 2 − 2 i f) z 1 = − 4 − i; z 2 = − 2 − i Potenzieren Da das Potenzieren eine wiederholte Multiplikation gleicher Faktoren ist, kann auf die entsprechende Rechenregel für das Multiplizieren zurückgegriffen werden: z 2 = z · z = (r; φ) · (r; φ) = (r 2; φ + φ) = (r 2; 2 · φ) z 3 = z · z · z = z 2 · z = (r 2; 2 · φ) · (r; φ) = (r 3; 2 · φ + φ) = (r 3; 3 · φ) usw. Man erkennt, dass beim Potenzieren einer komplexen Zahl in Polardar- stellung der Betrag potenziert wird, während das Argument mit dem Exponenten multipliziert wird. Diese Tatsache wurde vom Mathematiker Abraham de Moivre in einem mathematischen Satz formuliert. Formel von de Moivre (Potenzieren einer komplexen Zahl in Polardarstellung) Für eine komplexe Zahl z = (r; φ) und n ∈ ℕ \ {0} gilt: z n = (r n; n · φ) = r n · (cos(n · φ) + i · sin(n · φ)) Der Betrag wird potenziert und das Argument mit dem Exponenten multipliziert. Berechne die Potenz der komplexen Zahl mit der Formel von de Moivre und vereinfache das Argument soweit wie möglich. a) z = (3; 13°); z 3 c) z = (5; 60°); z 5 e) z = (2; 90°); z 7 g) z = (7; 180°); z 2 b) z = (2; 45°); z 4 d) z = (4; 85°); z 6 f) z = (1; 110°); z 8 h) z = (10; 0°); z 3 Gegeben ist die komplexe Zahl z = − 9 _ 2 _ 2 + 9 _ 2 _ 2 i. Stelle die Potenz z 5 in kartesischer Form dar. Man berechnet den Betrag r und das Argument φ: r = |z| = 9 ____________ (− 9 _ 2 _ 2 ) 2 + ( 9 _ 2 _ 2 ) 2 = 9 _ 2 _ 4 + 2 _ 4 = 9 _ 1= 1; φ‘ = tan−1(| 9 _ 2 _ 2 _ − 9 _ 2 _ 2 |) = tan−1(1) = 45° Da P = (− 9 _ 2 __ 2 | 9 _ 2 __ 2 ) im zweiten Quadranten liegt, gilt wegen der Symmetrie für φ = 180° − φ‘ = 135°. z = − 9 _ 2 _ 2 + 9 _ 2 _ 2 i = (1; 135°) z 5 = (1 5; 5 · 135°) = (1; 675°) = (1; 315°) = = 1 · (cos(315°) + i · sin(315°)) = 9 _ 2 _ 2 − 9 _ 2 _ 2 i Gib die Potenz der komplexen Zahl in kartesischer Darstellung an. a) (1 + 2 i) 4 c) (− 6 − 8 i) 3 e) (1 + i) 7 g) (− 1 − i) 3 i) (− 3 + i) 4 b) (− 3 + 4 i) 5 d) (0,7 − 2,4 i) 6 f) (− 1 + i) 10 h) (2 + 2 i) 2 j) (1 − 4 i) 5 960 961 Merke 962 Muster 963 964 Abraham de Moivre (1667–1756) Französischer Mathematiker Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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