263 11.6 Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung Lernziele: º Komplexe Zahlen in Polardarstellung multiplizieren und dividieren können º Komplexe Zahlen in Polardarstellung potenzieren können º Die Formel von de Moivre kennen º Aus komplexen Zahlen in Polardarstellung Wurzeln ziehen können Das Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung bietet beim Multiplizieren und Dividieren jedoch vor allem beim Potenzieren sowie beim Wurzelziehen einen großen Vorteil. Der Rechenaufwand verringert sich nämlich im Vergleich zur kartesischen Darstellung erheblich. Multiplikation und Division Die Multiplikation und die Division komplexer Zahlen lässt sich mit Polarkoordinaten oft einfacher durchführen. Sind z1 = r 1 · (cos(φ 1) + i · sin(φ 1))und z2 = r 2 · (cos(φ 2) + i · sin(φ 2)) zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung, so gilt für die Multiplikation: z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · (cos(φ 1 + φ 2) + i · sin(φ 1 + φ 2)). Multiplikation komplexer Zahlen in Polardarstellung Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Multipliziere z1 = (4; 220°) und z2 = (8; 270°) und gib das Produkt in kartesischer Darstellung an. z 1 · z 2 = (4; 220°) · (8; 270°) = (4 · 8; 220° + 270°) = (32; 490°) = (32; 490° − 360°) = (32; 130°), da cos(490°) = cos(130°)bzw. sin(490°) = sin(130°) gilt. Nach der Berechnung des Produktes in Polarkoordinaten kann die Polardarstellung bzw. kartesische Darstellung angegeben werden: z 1 · z 2 = 32 · cos(130°) + i · 32 · sin(130°) Multipliziere z1und z2 und gib das Produkt in kartesischer Darstellung an. a) z 1 = (3; 30°); z 2 = (5; 20°) c) z 1 = 8 · (cos(45°) + i · sin(45°)); z 2 = 7 · (cos(80°) + i · sin(80°)) b) z 1 = (2; π rad); z 2 = (8; π _ 2 rad) Multipliziere z 1und z2 in Polardarstellung und gib das Produkt in kartesischer Darstellung an. a) z 1 = 2 + 2i; z2 = − 1 + i c) z 1 = 3 − 3 i; z2 = − 1 − i e) z 1 = − 2 i; z2 = − 1 + 2 i b) z 1 = 3 i; z2 = − 2 i d) z 1 = 1 − i; z 2 = 5 − 5 i f) z 1 = − 1 − 2 i; z2 = − 2 Sind z 1 = r 1 · (cos(φ 1) + i · sin(φ 1))und z2 = r 2 · (cos(φ 2) + i · sin(φ 2)) zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung, gilt für die Division: z 1 _ z 2 = r 1 _ r 2 · (cos(φ 1 − φ 2) + i · sin(φ 1 − φ 2)). Division komplexer Zahlen in Polardarstellung Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert. Kompetenzen Ó Vertiefung Herleitung der Formeln für die Multiplikation und Division in Polardarstellung 2yt47e Merke Muster 957 958 959 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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