261 11.5 Polardarstellung von komplexen Zahlen Lernziele: º Die Polardarstellung komplexer Zahlen angeben können º Das Argument einer komplexen Zahl bestimmen können º Die Polarkoordinaten in die kartesische Darstellung umrechnen können Jeder komplexen Zahl z = a + b · ientspricht in der Gaußschen Zahlenebene ein eindeutig festgelegter Punkt P = (a|b ). Dieser kann durch seine Polarkoordinaten P = (r; φ)dargestellt werden. Dabei ist r = |z| der Abstand von P vom Nullpunkt und wird als Betrag der komplexen Zahl bezeichnet. Nach dem Satz von Pythagoras gilt: r = |z| = 9 _a 2 + b 2 Der Winkel φ ∈ [0 rad; 2 π rad) bzw. [0° ; 360°), den r mit der positiven reellen Achse einschließt, heißt Argument der komplexen Zahl. Zur Berechnung von φ verwendet man tan(φ) = b _ a . Aufgrund der Definition von Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck gelten auch die Zusammenhänge: cos(φ) = a _ r ⇒ a = r · cos(φ), sin(φ) = b _ r ⇒ b = r · sin(φ) Polardarstellung/Polarkoordinaten einer komplexen Zahl Ist z = a + b · i(z ≠ 0) eine komplexe Zahl, gilt: r = |z| = 9 _a 2 + b 2 tan(φ) = b _ a (a ≠ 0) a = r · cos(φ) b = r · sin(φ) z = a + b · i = r · cos(φ) + r · sin(φ) · i = r · (cos(φ) + i · sin(φ)) = (r; φ) kartesische Darstellung Polardarstellung Polarkoordinaten Stelle die komplexe Zahl z = 12 − 35 iin Polardarstellung bzw. in Polarkoordinaten dar. r = |z| = 9 _a 2 + b 2 = 9 _12 2 + (− 35) 2 = 9 _1 369 = 37 tan(φ) = b _ a = − 35 _ 12 Berechne zuerst das Maß des spitzen Winkel φ‘ = tan−1(35 _ 12 ) ≈ 71,08°. Das gesuchte Argument φ befindet sich zwischen 270° und 360°, da der Punkt P = (12|−35) im vierten Quadranten liegt. Aufgrund der Symmetrieeigenschaften ergibt sich für φ = 360° − φ‘ ≈ 288,92°. z = 12 − 35i ≈ 37· (cos(288,92°) + i · sin(288,92°)) = = (37; 288,92°) Kompetenzen Im 0 Re a i 1 P r = |z| b · i r · sin(φ) r · cos(φ) φ Merke } Re Im 10 20 30 40 50 –10 10i 20i 30i 40i –40i –30i –20i –10i 0 φ' P' = (12 1 35) P = (12 1 –35) Muster 952 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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