260 Komplexe Zahlen > Fundamentalsatz der Algebra Drei komplexe Lösungen sind nicht möglich, da dann die Koeffizienten des Terms dritten Grades nicht mehr reell sind! Man erkennt, dass eine algebraische Gleichung dritten Grades immer mindestens eines reelle Lösung besitzt. Die entsprechende Polynomfunktion dritten Grades hat daher immer mindestens eine reelle Nullstelle. Gegeben sind Aussagen über die Lösungen bzw. die Nullstellen algebraischer Gleichungen bzw. Polynomfunktionen zweiten und dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Eine algebraische Gleichung zweiten Grades mit reellen Koeffizienten kann eine reelle und eine komplexe Lösung besitzen. B Eine Polynomfunktion dritten Grades mit reellen Koeffizienten kann zwei reelle und eine komplexe Nullstelle besitzen. C Eine algebraische Gleichung dritten Grades mit reellen Koeffizienten kann drei komplexe Lösungen besitzen. D Eine Polynomfunktion dritten Grades mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Nullstelle. E Die Lösungen einer algebraischen Gleichung zweiten Grades mit reellen Koeffizienten können konjugiert komplex sein. Gegeben sind Aussagen über die Lösungen x1, x 2, x 3 und x4 einer algebraischen Gleichung vierten Grades ax4 + b x3 + c x2 +dx+e==a(x − x 1)(x − x 2)(x − x 3)(x − x 4) = 0 (a ≠ 0, b, c, d, e ∈ ℝ). Entscheide, ob die Aussagen möglich sind. Die Anzahl und die Art der Lösungen (reell oder komplex) einer alge- braischen Gleichung hängen vom Grad der Gleichung ab. Der berühmte deutsche Mathematiker Carl Friedlich Gauss (1777–1855) verallgemeinerte in seiner Dissertation 1799 diese Aussage über die Existenz von Lösungen für algebraische Gleichungen in einem mathematischen Satz. Fundamentalsatz der Algebra Jede algebraische Gleichung vom Grad n (n ≥ 1) hat in der Menge ℂ der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung. Werden die Lösungen in ihrer Vielfachheit gezählt, kann man sogar sagen, dass jede algebraische Gleichung vom Grad n in der Menge ℂ genau n Lösungen besitzt, d.h. in der Menge ℂ immer lösbar ist. Der Fundamentalsatz der Algebra ist eine reine Existenzaussage. Es wird nur gesagt, dass es zumindest eine Lösung geben muss, und nichts darüber, wie man diese Lösung finden kann. FA-R 4.4 M1 950 951 Merke Carl Friedrich Gauß 1 2 möglich nicht möglich A x 1, x 2, x 3, x 4 ∈ ℝ alle verschieden B x 1und x2sind konjugiert komplex, x3 ≠ x 4 ∈ ℝ C x 1, x 2, x 3 ∈ ℂ alle verschieden, x4 ∈ ℝ D x 1 = x 2 ∈ ℝ; x 3 ≠ x 4 ∈ ℝ E x 1 ∈ ℂ; x 2, x 3, x 4 ∈ ℝ F x 1 = x 2 ∈ ℝ; x 3und x4sind konjugiert komplex G x 1und x2sowie x3und x4 sind jeweils konjugiert komplex H x 1, x 2, x 3, x 4 ∈ ℂ alle verschieden I x 1 = x 2 ∈ ℝ und x3 = x 4 ∈ ℝ 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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