259 11.4 Fundamentalsatz der Algebra Lernziel: º Den Fundamentalsatz der Algebra kennen und seine Bedeutung bei der Zahlenbereichserweiterung von ℝ auf ℂ erläutern können (AG-L 2.8) Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: FA-R 4.4 D en Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Nullstellen […] wissen [Erkennen des Fundamentalsatzes der Algebra] Nach dem Satz von Vieta kann man den quadratischen Term der Gleichung x 2 + p x + q = 0 (p, q ∈ ℝ) mit den Lösungen x1und x2 in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen. Es gilt: x2 +px+q=(x − x 1)(x − x 2). Für die Lösungen können drei Fälle unterschieden werden: 1) x 1 ≠ x 2 ∈ ℝ, d.h. es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen. 2) x 1 = x 2 ∈ ℝ, d.h. es gibt eine reelle Doppellösung. 3) x 1und x2 sind zwei konjugiert komplexe Zahlen. Zerlege den quadratischen Term der Gleichung in ein Produkt von Linearfaktoren. a) 3 x 2 + 17 x − 28 = 0 b) x 2 − 22x +121 = 0 c) x 2 − 2 x + 10 = 0 Man hebt gegebenenfalls den Koeffizienten des quadratischen Gliedes heraus und setzt für p bzw. q die entsprechenden Werte in die „kleine Lösungsformel“ für quadratische Gleichungen der Art x 2 + p x + q = 0ein: x 1 = − p _ 2 − 9 _ ( p _ 2 ) 2 − q bzw. x2 = − p _ 2 + 9 _ ( p _ 2 ) 2 − q a) Es ist 3 x 2 + 17 x − 28 = 3(x 2 + 17 _ 3 x − 28 _ 3 ). Für p = 17 _ 3 und q = − 28 _ 3 erhält man x 1 = − 17 _ 6 − 9 _ ( 17 _ 6 ) 2 + 28 _ 3 = − 7 bzw. x2 = − 17 _ 6 + 9 _ ( 17 _ 6 ) 2 + 28 _ 3 = 4 _ 3. Damit ergibt sich die Zerlegung 3 x2 + 17 x − 28 = 3(x + 7)(x − 4 _ 3). b) Für p = − 22und q = 121erhält man: x1 = 11 − 9 _11 2 − 121= 11 bzw. x 2 = 11 + 9 _11 2 − 121= 11. Es gilt dann: x2 − 22 x + 121 = (x − 11)(x − 11) = (x − 11) 2 c) Für p = − 2und q = 10erhält man x1 = 1 − 9 _1 2 − 10 = 1 − 9 _ − 9 = 1 − 3 i bzw. x 2 = 1 + 9 _1 2 − 10=1+9 _ − 9= 1 + 3 i. Es gilt dann: x2 − 2 x + 10 = (x − 1 + 3 i)(x − 1 − 3 i) Zerlege den quadratischen Term der Gleichung in ein Produkt von Linearfaktoren. a) 4 x 2 + 12 x + 9 = 0 b) x 2 − 4 x + 5 = 0 c) 5 x 2 − 53 x − 84 = 0 d) x 2 − 10 x + 29 = 0 Betrachtet man die allgemeine quadratische Funktion f(x) = a x2 + b x + c(mit a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0), gibt es nach den obigen Überlegungen entweder zwei verschiedene reelle Nullstellen, eine reelle Doppelnullstelle bzw. keine Schnittstellen mit der waagrechten Koordinatenachse. Eine algebraische Gleichung a x3 + b x2 + c x + d = 0bzw. eine Polynomfunktion f(x) = a x3 + b x2 + c x + ddritten Grades mit den reellen Koeffizienten a (≠ 0), b, c und d kann nun drei Lösungen bzw. Nullstellen x 1, x 2und x3 haben, und es kann nach dem Satz von Vieta gefolgert werden: a x3 + b x2 + c x + d = a(x − x 1)(x − x 2)(x − x 3) Für die Lösungen können von dieser Zerlegung ausgehend folgende Fälle unterschieden werden: 1) x 1 ≠ x 2 ≠ x 3 ∈ ℝ, d.h. es gibt drei verschiedene reelle Lösungen. 2) x 1 = x 2 = x 3 ∈ ℝ, d.h. es gibt eine dreifache reelle Lösung. 3) x 1 = x 2 ∈ ℝ, x 3 ∈ ℝ und x3 ≠ x 1, 2, d.h. es gibt zwei reelle Lösungen mit einer Doppellösung. 4) x 1 ∈ ℝ, x 2und x3 sind zwei konjugiert komplexe Lösungen. Kompetenzen Muster 948 949 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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