258 Komplexe Zahlen > Lösen von Gleichungen Lösungen einer quadratischen Gleichung Eine allgemeine quadratische Gleichung a x 2 + bx + c = 0mit a,b,c ∈ ℝ besitzt in der Menge ℂ mindestens eine Lösung. – Die Gleichung hat eine reelle Lösung, wenn D = b2 − 4 a c = 0. – Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen, wenn D = b2 − 4 a c > 0. – Die Gleichung hat zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen, wenn D = b 2 − 4 a c < 0. Löse die Gleichung in der Menge ℂ und mache die Probe. a) x 2 +17x+72=0 c) x 2 + 8 x + 25 = 0 e) 25 x 2 − 10 x + 1 = 0 b) 2 x 2 = 3 x + 5 d) 16 x 2 = − 8 x − 5 f) 4 x 2 − 28 x + 49 = 0 Löse die Gleichung in der Menge ℂ und mache die Probe. a) x 2 − 10 x + 34 = 0 c) 9 x 2 = 6 x − 26 e) x · (10 − x) = 40 b) x 2 − 4 x + 53 = 0 d) 4 x 2 − 12 x = − 25 f) 4 x · (4 x − 12) = − 37 Gegeben ist die Gleichung (x − 5) 2 = a. Bestimme alle Werte a ∈ ℝ, für die die Gleichung keine reelle Lösung besitzt. Ordne jeder Lösungsmenge die passende quadratische Gleichung zu. 1: L = {5} 2: L = {} 3: L = {0; 5} 4: L = {− 5; 5} A B C D E F − x 2 = 25 (x − 5)(x + 5) = 0 x · (x − 5) = 0 (x + 5) 2 = 0 x · (x + 5) = 0 (x − 5) 2 = 0 Gib eine Gleichung an, die die gegebene Bedingung erfüllt. a) Die Gleichung ist in der Menge ℝ, aber nicht in der Menge ℚ lösbar. b) Die Gleichung ist in der Menge ℂ, aber nicht in der Menge ℝ lösbar. Die quadratische Gleichung x2 − 6 x + 10 = 0hat die Lösungen z 1 = 3 + iund z2 = 3 − i. Zeige: 1) x 2 – 6 x + 10 = (x − z 1) · (x − z 2) 2) − 6 = − (z 1 + z 2) 3) 10 = z1 · z 2 1) (x − z 1) · (x − z 2) = (x − (3 + i)) · (x − (3 − i)) = x 2 − (3 + i)x − (3 − i)x + (3 − i) · (3 + i) = = x 2 − 3 x + i x − 3 x − ix+9+1=x2 − 6 x + 10 2) − (z 1 + z 2) = − (3 + i + 3 − i) = − 6 3) z 1 · z 2 = (3 + i) · (3 − i) = 3 2 + 1 2 = 10 Man erkennt, dass auch im komplexen Fall der quadratische Term in ein Produkt linearer Faktoren zerlegt werden kann und der Satz von Vieta seine Gültigkeit behält. Zerlege den Term in ein Produkt von Linearfaktoren. a) x 2 + 14 x + 53 b) x 2 − x − 132 c) 4 x 2 + 4 x + 82 d) x 2 + 10 x + 41 e) 2 x 2 + x − 45 Bestimme die Gleichung x2 + px + q = 0 (p, q ∈ ℝ), die die Lösungen z 1und z2besitzt. a) z 1 = 1 + 6i, z2 = 1 − 6 i b) z 1 = − 6 + 4i, z2 = − 6 − 4 i c) z 1 = 6 i, z2 = − 6 i Merke 940 941 AG-R 2.3 M1 942 AG-R 2.3 M1 943 944 Muster 945 946 947 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=