257 11.3 Lösen von Gleichungen Lernziele: º Quadratische Gleichungen in ℂ lösen können º Die Anzahl und die Art der Lösungen einer quadratischen Gleichung interpretieren können º Den Satz von Vieta in ℂ anwenden können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 2.3 Q uadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle […] deuten können In Lösungswege 5 wurden bereits verschiedene Fälle, die beim Lösen einer quadratischen Gleichung auftreten können, besprochen. Wie viele Lösungen hat die quadratische Gleichung in der Menge ℝ? a) x 2 − 6 x − 16 = 0 c) 9 x 2 − 24 x + 16 = 0 e) x 2 + 2 x + 4 = 0 b) 2 x 2 = x + 1 d) 4 x 2 + 1 = 0 f) 16 x 2 − 8 x = − 1 Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Eine normierte quadratische Gleichung der Form x 2 + px + q = 0hat (1) , wenn für die Parameter p und q (2) gilt. (1) (2) eine reelle Lösung p 2 _ 2 − q < 0 zwei reelle Lösungen p 2 < 4 q keine reelle Lösung p 2 < 2 q Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen, bei denen beim Lösen negative Diskriminanten aufgetreten sind, waren bis zur Einführung der komplexen Zahlen unlösbar. In der Menge ℂ haben jedoch alle quadratischen Gleichungen Lösungen. Löse die Gleichung x2 + 8 x + 41 = 0. x 1, 2 = − 8 _ 2 ± 9 _ (8 _ 2) 2 − 41 = − 4 ± 9 _16 − 41 = − 4 ± 9 _ − 25 Die Gleichung hat die beiden (zueinander konjugiert) komplexen Lösungen: z 1 = − 4 − 5 i und z 2 = − 4 + 5 i. Die Anzahl und die Art der Lösungen hängen von der Zahl unterhalb der Wurzel, der Diskriminante D, ab. Kompetenzen Vorwissen 937 AG-R 2.3 M1 938 Muster 939 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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