256 Komplexe Zahlen > Rechnen mit komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung Multiplikation einer komplexen Zahl mit der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl Wird eine komplexe Zahl z = a + b · i (a, b ∈ ℝ) mit der konjugiert komplexen Zahl _ z = a − b · i multipliziert, ist das Ergebnis immer eine reelle Zahl: z · _ z = (a + b · i) · (a − b · i) = a 2 − (b · i) 2 = a 2 − b 2 · i 2 = a 2 − b 2 · (− 1) = a 2 + b 2 Das Produkt ist die Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil. Damit gilt für den Betrag einer komplexen Zahl |z| = 9 _ z · _ z . Betrachtet man die Erkenntnis aus dem Merkkasten, so sieht man, dass es in der Menge der komplexen Zahlen auch eine Formel für die Zerlegung des Terms a2 + b 2 = (a + b · i) · (a − b · i) gibt. In ℝ konnte man nur Terme der Art a2 − b 2 = (a + b) · (a − b) in Faktoren zerlegen. Zerlege in ein Produkt zweier zueinander konjugiert komplexer Zahlen. a) 9 x 2 + y 2 b) u 2 + 1 c) 9 y 2 + 4 d) 16 v 2 + 36 w2 e) 1 + 100 x2 Bei der Division von zwei komplexen Zahlen greift man auf die Erkenntnisse mit konjugiert komplexen Zahlen zurück. Es wird mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert. a + bi _ c + di = (a + bi)(c − di) _ (c + di)(c − di) = (ac + bd) + (bc − ad)i ___________ c 2 + d 2 = ac + bd _ c 2 + d 2 + bc − ad _ c 2 + d 2 i Division komplexer Zahlen Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man die Division als Bruch anschreibt und mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert. Berechne den Quotienten a) (2 − 4 i) : (− 1 + 3 i) b) (− 5 + 2 i) : (− i) Man schreibt einen Bruch und erweitert mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. a) (2 − 4 i) : (− 1 + 3 i) = 2 − 4 i _ − 1 + 3 i = (2 − 4 i)(− 1 − 3 i) _ (− 1 + 3 i)(− 1 − 3 i) = − 2 + 4 i − 6i + 12i2 _ (− 1) 2 + 3 2 = − 2 + 4 i − 6 i − 12 _ 10 = − 14 − 2 i _ 10 = − 7 _ 5 − 1 _ 5 i b) (− 5 + 2 i) : (− i) = − 5 + 2 i _ − i = (− 5 + 2 i) · i _ − i · i = − 5i + 2i2 _ − i 2 = − 5 i − 2 _ − (− 1) = − 2 − 5 i Berechne den Quotienten. a) (− 2 + 3 i) : (1 − 2 i) c) 1 : (3 + i) e) (7 − 12 i) : (− i) g) − i : (4 + 5 i) b) (3 − 7 i) : (− 3 + 2 i) d) − 5 : (− 3 + 4 i) f) (− 1 − 9 i) : i h) i : (− 2 + i) Berechne die Quotienten z 1 _ z 2 und z 2 _ z 1 . a) z 1 = − 1 + i; z2 = 1 + 4 i c) z 1 = − 5 + 2i; z2 = 2 − 5 i e) z 1 = 10; z2 = 4 + 3 i b) z 1 = i; z2 = − 1 − i d) z 1 = − 4; z 2 = − 10 + 5 i f) z 1 = − 5 + i; z2 = − 2 − i Vervollständige den folgenden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Bestimmt man den Quotienten (2 + 3 i) : (2 − 4 i), so hat der (1) den Wert (2) . (1) (2) Realteil 0,4 Imaginärteil 2 Nenner 0,7 Merke 932 Merke Muster 933 934 935 936 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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